Задачи на движение по окружности, воде, совместную работу и прогрессию. (Математика B13)

Условие задачи: Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
Решение.
Первый мастер выполняет 1/12 работы в час, а второй — 1/6 работы в час. Следовательно, работая вместе, мастера выполняют работы в час. Поэтому всю работу мастера выполнят за 4 часа.

Другое рассуждение.
Время работы равно отношению объёма к скорости её выполнения. Поэтому два мастера, работая вмес� �е, выполнят заказ за

часа.

Ответ: 4.

Условие задачи:
Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?



Решение.
Пусть вторая труба наполняет резервуар за x минут, а первая — за x + 6 минут. В одну минуту они наполняют соответственно и часть резервуара. Поскольку за 4 минуты обе трубы заполняют весь резервуар, за одну минуту они наполняеют одну четвертую часть резервуара:

.
Далее можно решать полученное уравнение. Но можно заметить, что при положительных x функция, находящаяся в левой части уравнения, убывает. Поэтому очевидное решение уравнения — единственно. Поскольку вторая труба заполняет резервуара в минуту, она заполнит весь резервуар за 6 минут. Ответ: 6.

Условие задачи: Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов текста, а Ваня – на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?
Решение.
Обозначим N — число вопросов теста. Тогда время, необходимое Пете, равно мин., а время, необходимое Ване, равно мин. Петя закончил отв ечать на тест через часа после Вани. Поэтому:

Ответ: 24.

Условие задачи: Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
Решение.
Обозначим выполняемую девочками работу по прополке грядки за 1. Пусть Даша пропалывает грядку за минут. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут. Таким образом,

.

Тем самым, Даша за минуту пропалывает 1/30 грядки, значит, одна Даша прополе� � грядку за 30 минут. Ответ: 30.

Условие задачи: Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?
Решение.
Рабочий выполняет 1/15 часть заказа в час, поэтому за 3 часа он выполнит 1/5 часть заказа. После этого к нему присоединяется второй рабочий, и, работая вместе, два рабочих должны выполнить 4/5 заказа. Чтобы определить вре мя совместной работы, разделим этот объём работы на совместную производительность:

часов.

Тем самым, на выполнение всего заказа потребуется 6 + 3 = 9 часов. Ответ: 9.

Условие задачи: Заказ на 300 деталей первый рабочий выполняет на 5 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что за час он делает на 5 деталей больше, чем второй?
Решение.
Обозначим — число деталей, которые изготавливает за час первый рабочий, тогда второй рабочий за час изготавливает деталей, . На изготовление 300 деталей первый рабочий тратит на 5 часов меньше, чем второй рабочий, отсюда имеем:

Ответ: 20.
Условие задачи: Грузовик перевозит партию щебня массой 60 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 4 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за пятый день, если вся работа была выполнена за 8 дней.
Решение.
Пусть в первый день грузовик перевез тонны щебня, во второй — , …, в последний — тонн; всего было перевезено тонн; норма перевозки увеличивалась ежедневно на тонн. Поскольку

.

Имеем

.

Следовательно, за пятый день было перевезено 8 тонн щебня. Ответ: 8.

Условие задачи: Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Решение.
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300%, то есть в раза, по сравнению с предыдущим годом. За 2003 год Бубликов заработал

рублей.

Ответ: 320000.

Условие задачи: Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.
Решение.
Пусть улитка проползла в первый день метров, во второй – , … , в последний – метров. Тогда м, а за дней проползла метров. Поскольку всего она проползла 150 метров, имеем: . Таким образом, улитка потратила на весь путь 30 дней.
Ответ: 30.

Условие задачи: Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Решение.
Пусть бригада в первый день бригада покрасила метров забора, во второй – , … , в последний – метров забора. Тогда м, а за дней было покрашено

метров забора.

Поскольку всего было покрашено 240 метров забора, имеем: . Таким образом, бригада красила забор в течение 8 дней. Ответ: 8.

Условие задачи: Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.
Решение.
В первый день Вера подписала открыток, во второй – , …, в последний – открыток. Всего было подписано открыток. Количество подписываемых открыток увеличивалось на каждый день.

.

Тогда за четвертый день было подписано

открыток.

Ответ: 22.

Условие задачи: Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если приб� �ль из оборота не изымалась?
Решение.
Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Альфа» была сумма

.

Каждый год прибыль компании «Бета» составила 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Бета» была сумма

.

Таким образом, капитал компании «Бета» был на 35 000 долларов больше. Ответ: 35 000.

Условие задачи: Васе надо решить 490 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.
Решение.
В первый день Вася решил задач, в последний — задач. Всего надо решить задач. Поскольку , где имеем:

. Тогда

задач.

Ответ: 65.

Условие задачи: Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.
Решение.
В первый день турист прошел км, во второй – , …, в последний – км. Всего он прошел км. Каждый день турист проходил больше, чем в предыдущий день, на км, , дней. Таким образом,

км.

Тогда за третий день турист прошел

км.

Ответ: 18.

Условие задачи: Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.
Решение.
Пусть рабочие в первый день проложили метров тоннеля, во второй — , …, в пос� �едний — метров тоннеля. Длина тоннеля метров. , дней. Тогда в последний день рабочие проложили

метров.

Ответ: 97.

Условие задачи: Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.
Решение.
Пусть в первый день грузовик перевез тонны щебня, во второй — , …, в последний — тонн; всего было перевезено тонн; норма перевозки увеличивалась каждодневно на тонн. Тогда

.

Тогда за девятый день было перевезено

(тонн).

Ответ : 18.