суббота, 16 марта 2013 г.

Задачи по геометрии за 8 класс, Л.С.Атанасян и др.

1111 Шлифовальный камень, имеющий форму диска, находится в защитном кожухе (рис. 316). Диаметр камня равен 58 см, дуга незащищенной его части равна 117°. Найдите длину дуги незащищенной части камня.
1101 Перечертите таблицу и, используя формулу длины С окружности радиуса R, заполните пустые клетки таблицы. Воспользуйтесь значением π = 3,14.
1102 Как изменится длина окружности, если радиус окружности: а) увеличить в три раза; б) уменьшить в два раза; в) увеличить в k раз; г) уменьшить в k раз?
1103 Как изменится радиус окружности, если длину окружности: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз?
1104 Найдите длину окружности, описанной около: а) правильного треугольника со стороной а; б) прямоугольного треугольника с катетами а и b; в) равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной 6; г) прямоугольника с меньшей стороной а и остры
1105 Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со стороной а; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой с; в) в прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а; г) в равнобедренный треугольник с углом при основании а и
1106 Автомобиль прошел 989 м. Найдите диаметр колеса автомобиля, если известно, что оно сделало 500 оборотов.
1107 Метр составляет приближенно 1/40 000 000 часть земного экватора. Найдите диаметр Земли в километрах считая, что Земля имеет форму шара.
1108 Вычислите длину круговой орбиты искусственного спутника Земли, если спутник вращается на расстоянии 320 км от Земли, а радиус Земли равен 6370 км.
1109 Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если ее градусная мера равна: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°.
1110 Расстояние между серединами зубьев зубчатого колеса, измеренное по дуге окружности, равно 47,1 мм. Диаметр колеса равен 450 мм. Сколько зубьев имеет? колесо?
1112 Найдите длину маятника стенных часов, если угол его колебания составляет 38°, а длина дуги, которую описывает конец маятника, равна 24 см.
1113 Радиус закругления пути железнодорожного полотна равен 5 км, а длина дуги закругления — 400 м. Какова градусная мера дуги закругления?
1114 Перечертите таблицу и, используя формулу для площади S круга радиуса R, заполните пустые клетки. Воспользуйтесь значением π = 3,14.
1115 Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз?
1116 Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами а и b; б) прямоугольного треугольника с катетом а и противолежащим углом а; в) равнобедренного треугольника с основанием а и высотой Л, проведенной к основанию.
1117 Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной а; б) в прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым углом а; в) в равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом а, противолежащим основанию;
1118 Диаметр основания царь-колокола, находящегося в Московском Кремле, равен 6,6 м. Найдите площадь основания колокола.
1119 Длина окружности цирковой арены равна 41 м. Найдите диаметр и площадь арены.
1120 Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами R1 и R2, R1<R2. Вычислите площадь кольца, если R1=1,5 см, R2= 2,5 см.
1121 Какой толщины слой нужно снять с круглой медной проволоки, имеющей площадь сечения 314 мм2, чтобы она проходила сквозь отверстие диаметром 18,5 мм?
1122 Вокруг круглой клумбы, радиус которой равен 3 м, проложена дорожка шириной 1 м. Сколько нужно песка, чтобы посыпать дорожку, если на 1 м2 дорожки требуется 0,8 дм3 песка?
1123 Из круга радиуса r вырезан квадрат, вписанный в окружность, которая ограничивает круг. Найдите площадь оставшейся части круга.
1124 На мишени имеются четыре окружности с общим центром, радиусы которых равны 1, 2, 3 и 4. Найдите площадь наименьшего круга, а также площадь каждого из трех колец мишени.
1125 На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.
1126 Из круга, радиус которого 10 см, вырезан сектор с дугой в 60°. Найдите площадь оставшейся части круга.
1127 Площадь сектора с центральным углом 72° равна S. Найдите радиус сектора.
1128 Сторона квадрата на рисунке 317 равна а. Вычислите площадь закрашенной фигуры.
911 Найдите такое число k, чтобы выполнялось равенство n =km, если известно, что: а) векторы m и n противоположно направлены и |m|=0,5 см, |n| = 2 см; б) векторы m и n сонаправлены и |m| = 12 см, |n| = 24 дм; в) векторы m и n противоположно направлены и |
912 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, М - середина отрезка АО. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство:
913 Векторы a и b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) а +3b и а; б) b-2а и a? Ответ обоснуйте.
914 Докажите, что если векторы а и 6 не коллинеарны, то: а) векторы a+b и a - b не коллинеарны; б) векторы 2а -b и а+b не коллинеарны; в) векторы а+b и а+3b не коллинеарны.
915 Точка М лежит на диагонали АС параллелограмма ABCD, причем AM: МС = 4:1. Разложите вектор AM по векторам а=АВ и b = AD.
916 Векторы а и b не коллинеарны. Найдите числа х и у, удовлетворяющие равенству: а) 3а-хb = уа + b; б) 4a-xa+5b + yb = 0; в) ха + 3b -yb = 0; г) a+b-3ya + xb=0.
917 Начертите прямоугольную систему координат Оху и координатные векторы i и j. Постройте векторы с началом в точке О, заданные координатами а{3; 0}, b{2; -1}, c{0; -3}, d {1; 1}, e{2; &radic;2}
918 Разложите векторы а , b , с , d , е и f , изображенные на рисунке 276, а, б, в, по координатным векторам i и j и найдите их координаты.
919 Выпишите координаты векторов а =2 i +3j , b = -&frac12;i -2j , с =8i , d = i - j , e =-2j , f=-i .
920 Запишите разложение по координатным векторам i и j вектора: а) х {-3; &frac15;) у {-2; -3}; в) z {-1; 0}; г) u {0; 3}; д) v {0; 1}.
921 Найдите числа х и у, удовлетворяющие условию: а) xi +yj =5i -2j ; б) -3i + уj =xi + 7j ; в) xi + yj = -4i ; r) xi + yj = 0.
922 Найдите координаты вектора a + b, если: a) a {3; 2}, b {2; 5}; 6) a {3; -4}, b{1; 5}; в) a{-4; -2}, b{5; 3}; r) a{2; 7}, b{-3; -7}.
923 Найдите координаты вектора а - b , если: а) а {5; 3}, b{2; 1}; б) a{3; 2}, b{-3; 2}; в) a{3; 6}, b{4; -3}; г) a{-5; -6}, b{2; -4}.
924 Найдите координаты векторов 2а,3а,-а,-3а, если a{3; 2}.
925 Даны векторы а {2; 4}, b {-2; 0}, с {0; 0}, d {-2; -3}, е {2; -3}, f {0, 5}. Найдите координаты векторов, противоположных данным.
926 Найдите координаты вектора v , если: a) v =3а-3b , а {2; -5}, b {-5; 2}; б) v =2а -3b+4с , а {4; 1}, b {1; 2}, с (2; 7); в) v=3а-2б-&frac12;с, а{-7; -1}, b{-1; 7}, с {4; -6}; г) v =a -b - c , а {7; -2}, b {2; 5}, с {-3; 3}.
927 Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
928 Даны векторы а {3; 7}, b {-2; 1}, с {6; 14}, d {2; -1}, е {2; 4}. Укажите среди этих векторов попарно кол-линеарные векторы.
929 Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка B — на положительной полуоси Оу. Найдите координаты вершин треугольника АВО, если: а) ОА = 5, OB=3; б) ОА=а, ОВ=b.
930 Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка B — на положительной полуоси Оу. Найдите координаты вершин прямоугольника ОАСB, если: а) ОА=6,5, OB=3; б) ОА=а, OB = b.
931 Начертите квадрат MNPQ так, чтобы вершина Р имела координаты (-3; 3), а диагонали квадрата пересекались в начале координат. Найдите координаты точек М, N и Q.
932 Найдите координаты вершин равнобедренного треугольника ABC, изображенного на рисунке 281, если АВ = 2а, а высота СО равна h.
933 Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).
934 Найдите координаты вектора АВ, зная координаты его начала и конца: а) А (2; 7), B (-2; 7); б) А (-5; 1), B (-5; 27); в)А(-3; 0), B (0; 4); г)А(0; 3), B (-4; 0).
935 Перечертите таблицу в тетрадь, заполните пустые клетки и найдите х и y:
936 Перечертите таблицу в тетрадь и, используя формулы для вычисления координат середины М отрезка АВ, заполните пустые клетки:
937 Даны точки А (0; 1) и B (5; -3). Найдите координаты точек С и D, если известно, что точка В — середина отрезка АС, а точка D — середина отрезка ВС.
938 Найдите длины векторов: а) а {5; 9}; б) b {-3; 4}; в) c{-10; -10}; г) d {10; 17); д) e{11; -11}; е) f{10; 0}.
939 Найдите расстояние от точки М (3; -2): а) до оси абсцисс; б) до оси ординат; в) до начала координат.
940 Найдите расстояние между точками А и В, если: а) А (2; 7), В (-2; 7); б) А (-5; 1), В (-5; -7); в) А (-3; 0), В (0; 4); г) А(0; 3), В (-4; 0).
941 Найдите периметр треугольника MNP, если М (4; 0), N(12; -2), В (5; -9).
942 Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4), С (5; 2).
943 Точки В и С лежат соответственно на положительных полуосях Ох и Оу, а точка А лежит на отрицательной полуоси Ох, причем ОА=а, OB=b, OC=h. Найдите стороны АС и ВС треугольника ABC.
944 Вершина А параллелограмма ОАСВ лежит на положительной полуоси Ох, вершина В имеет координаты (b; с), а ОА=а. Найдите: а) координаты вершины С; б) сторону АС и диагональ СО.
945 Найдите сторону АС и диагональ ОС трапеции ОВСА с основаниями ОА=а и BC=d, если точка А лежит на положительной полуоси Ох, а вершина В имеет координаты (b; с).
946 Найдите х, если: а) расстояние между точками А (2; 3) и В (х; 1) равно 2; б) расстояние между точками М1(-1; х) и М2(2х; 3) равно 7.
947 Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: а) А(0; 1), В (1; -4), С (5; 2); б) А (-4; 1), В (-2; 4), С(0; 1).
948 На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек: а) А (-3; 5) и В (6; 4); б) С (4; -3) и D (8; 1).
949 На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек: а) А (1; 2) и В (-3; 4); б) С (1; 1) и D (3; 5).
950 Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если: а) М (1; 1), N (6; 1), Р (7; 4), Q (2; 4); б) М(-5; 1), N(-4; 4), Р (-1; 5), Q(-2; 2).
951 Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его площадь, если: а) А (-3; -1), В(1; -1), С (1; -3), В(-3; -3); б) А (4; 1), В (3; 5), С(-1; 4), В(0; 0).
952 Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.
953 Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.
954 Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.
955 Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 см и 4 см. Найдите медиану, проведенную к меньшей из двух других сторон.
956 Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
957 Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником.
958 Дан прямоугольник ABCD. Докажите, что для произвольной точки М плоскости справедливо равенство AM2 + СМ2 = ВМ2 + DM2.
959 Начертите окружность, заданную уравнением: а) х2+у2= 9; б) (x-1)2 + (y+2)2=4; в) (x+5)2+(y-3)2=25; г) (х-1)2+у2=4; д) х2+(y+2)2=2.
960 Какие из точек А (3; -4), В(1; 0), С(0; 5), D(0; 0) и Е (0; 1) лежат на окружности, заданной уравнением: а) x2+у2=25; б) (х-1)2+(у + 3)2 = 9; в) (x-&frac12;)2+y2=&frac14;?
961 Окружность задана уравнением (x + 5)2 + (y-1)2= 16. Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек А (-2; 4), B (-5; -3), С (-7; -2) и D( 1; 5) лежат: а) внутри круга, ограниченного данной окружностью; б) на окружности; в) вне круга, ограниченного дан
962 Даны окружность х2 + у2 = 25 и две точки А(3; 4) и В (4; -3). Докажите, что АВ — хорда данной окружности.
963 На окружности, заданной уравнением х2+у2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой -4; б) с ординатой 3.
964 На окружности, заданной уравнением (x-3)2 + + (y-5)2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой 3; б) с ординатой 5.
965 Напишите уравнения окружностей с центром в начале координат и радиусами r1=3, r2= &radic;2 , r3=5/2.
966 Напишите уравнение окружности радиуса r с центром А, если: а) А(0;5), r= 3; б) А(-1;2), r = 2; в) А (-3; -7), r=&frac12;; г) А (4; -3), r =10.
967 Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В (-1; 3).
968 Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).
969 Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: а) М (-3; 5), N(7; -3); б) М(2; -1), N(4; 3).
970 Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А (1; 3), если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5. Сколько существует таких окружностей?
971 Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (-3; 0) и B (0; 9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.
972 Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) А (1; -1) и В (-3; 2); б) С (2; 5) и D (5; 2); в) М (0; 1) и N (-4; -5).
973 Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение прямой, содержащей медиану СМ.
974 Даны координаты вершин трапеции ABCD: А (-2; -2), В (-3; 1), С (7; 7) и D (3; 1). Напишите уравнения прямых, содержащих: а) диагонали АС и BD; б) среднюю линию трапеции.
975 Найдите координаты точек пересечения прямой 3x-4y + 12 = 0 с осями координат. Начертите эту прямую.
976 Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.
977 Напишите уравнения прямых, проходящих через точку М (2; 5) и параллельных осям координат.
978 Начертите прямую, заданную уравнением: а) у = 3; б) х = -2; в) у=-4; г) х = 7.
979 Найдите ординату точки М, лежащей на прямой AB, если известно, что А (-8; -6), В (-3; -1) и абсцисса точки М равна 5.
980 Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что его диагонали лежат на осях координат.
981 Даны две точки А и B. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки B.
982 Точка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: а) АМ2+ВМ2+СМ2= 50; б) АМ2+2BМ2+3CM2=4.
983 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM2+BM2=k2, где k — данное число.
984 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM2 - ВМ2=k, где k — данное число.
985 Даны две точки А и B. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых ВМ2-АМ2= 2AB2 .
986 Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых
987* Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2а и 2b. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых
988 Векторы а и b не коллинеарны. Найдите такое число х (если это возможно), чтобы векторы р и q были коллинеарны: а) р = 2 а- b , q = а +хb; б) р = xа - b , q = а+хb; в) р = a + xb , q = а-2b; г) р = 2а + b, q=ха+ b.
989 Найдите координаты вектора р и его длину, если: а)р = 7а-3b, а{1;-1}, b{5;-2}; б)р = 4а-2b, а{6; 3}, b{5; 4}; в) р = 5 а-4 b , а{3/5;1/5}, b{6;-1}; г) р = 3(-2a-4b), а{1; 5}, b{-1; -1}.
990 Даны векторы а{3; 4}, b{6; -8}, с{1; 5}. а) Найдите координаты векторов р = а + b, q = b + с , r =2а- b + с , s = а- b - с . б) Найдите | а|, | b |, |р |, |q |.
991 Докажите, что расстояние между любыми двумя точками M1 (X1; 0) и М2 (х2; 0) оси абсцисс вычисляется по формуле d = |x1- x2|.
992 Докажите, что треугольник ABC, вершины которого имеют координаты А (4; 8), В (12; 11), С (7; 0), является равнобедренным, но не равносторонним.
993 Докажите, что углы А и С треугольника ABC равны, если А (-5; 6), В (3; -9) и С (-12; -17).
994 Докажите, что точка D равноудалена от точек А, В и С, если: a) D(1; 1), А (5; 4), В (4; -3), С (-2; 5); б) D (1; 0), А (7; -8), В (-5; 8), С (9; 6).
995 На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек М1(-2; 4) и М2 (6; 8).
996 Вершины треугольника ABC имеют координаты А (-5; 13), В (3; 5), С (-3; -1). Найдите: а) координаты середин сторон треугольника; б) медиану, проведенную к стороне АС; в) средние линии треугольника.
997 Докажите, что четырехугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (3; 2), В (0; 5), С (-3; 2), D (0; -1), является квадратом.
998 Докажите, что четырехугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (-2; -3), В (1; 4), С (8; 7), D (5; 0), является ромбом. Найдите его площадь.
999 Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма по заданным координатам трех его вершин: (-4; 4), (-5; 1) и (-1; 5). Сколько решений имеет задача?
1000 Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности: а) (х - 1)2 + (у + 2)2 = 25; б) x2 + (у + 7)2 = 1; в) х2 + у2 + 8x - 4у + 40 = 0; г) х2 + у2- 2х + 4у - 20 = 0; д) х2 + у2 - 4х
1001 Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (3; 0) и В (- 1; 2), если центр ее лежит на прямой у=х+2.
1002 Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки: а) А ( 1; -4), В (4; 5), С (3; -2); б) А (3; -7), В (8; -2), С (6; 2).
1003 Вершины треугольника ABC имеют координаты А(-7; 5), В (3; -1), С (5; 3). Составьте уравнения: а) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; б) прямых АВ, ВС и СА; в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.
1004 Докажите, что прямые, заданные уравнениями 3x-1,5y+1=0 и 2х-у-3=0, параллельны.
1005 Докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой, если: а) А (-2; 0), В(3; 2&frac12;), С (6; 4); б) А(3; 10), В (3; 12), С (3; -6); в) А(1; 2), В (2; 5), С (-10; -31).
1006 Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота, проведенная к большей из них, равна 15 см. Найдите медианы треугольника.
1007 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
1008 Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для всех точек М величина (AM2 + СМ2) - (ВМ2 + DM2) имеет одно и то же значение.
1009 Докажите, что медиану АА1 треугольника ABC можно вычислить по формуле. Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
1010 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: а) 2AM2 - ВМ2 = 2АВ2; б) 2AM2 + 2ВМ2 = 6АВ2.
1011 Ответьте на вопросы: а) Может ли абсцисса точки единичной полуокружности иметь значения 0,3; &frac13; -&frac13; 1&frac23; -2,8? б) Может ли ордината точки единичной полуокружности иметь значения 0,6; у; -0,3; 7; 1,002? Ответы обоснуйте.
1012 Проверьте, что точки М1(0; 1), M2(&frac12;;&radic;3/2), M3(&radic;2/2; &radic;2/2), M4(-&radic;3/2;&frac12;), А(1;0), В (-1; 0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ.
1013 Найдите sin &alpha;, если: а) cos &alpha; =&frac12;; б) cos &alpha; =-&frac23;; в) cos &alpha; = -1.
1014 Найдите cos &alpha;, если: а) sin &alpha; =&radic;3/2; б) sin &alpha; = &frac14; в) sin &alpha;=0.
1015 Найдите tg &alpha;, если: a) cos &alpha; = 1; б) cos &alpha; = -&radic;3/2 ; в) sin &alpha;=&radic;2/2 и 0°<&alpha;<90°; г) sin &alpha; = 3/5 и 90°<&alpha;<180°.
1016 Вычислите синусы, косинусы и тангенсы углов 120°, 135°, 150°.
1017 Постройте &ang;А, если: a) sinA=&frac23;; б) cosA = &frac34;; в) cosA = -2/5.
1018 Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен а. Найдите координаты точки А, если: а) ОА=3, &alpha;=45°; б) ОА= 1,5, &alpha;=90°; в) ОА=5, &alpha;=150°; г) ОА=1, &alpha;=180°; д) ОА=2, &alpha;=30°.
1019 Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если точка А имеет координаты: а) (2; 2); б) (0; 3); в) (- &radic;3; 1); г) (-2&radic;2 ; 2&radic;2).
1020 Найдите площадь треугольника ABC, если: а) АВ = = 6&radic;8 см, АС=4 см, &ang;А=60°; б) ВС=3 см, АВ = = 18&radic;2 см, &ang;B=45°; в) АС=14 см, СВ=7 см, &ang;C=48°.
1021 Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
1022 Площадь треугольника ABC равна 60 см2. Найдите сторону АВ, если АС= 15 см, &ang;A=30°.
1023 Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями равен 30°.
1024 Найдите площадь треугольника ABC, если: а) &ang;A=&alpha;, а высоты, проведенные из вершин B и С, соответственно равны hb и hс; б) &ang;А=&alpha;, &ang;B=&beta;, а высота, проведенная из вершины В, равна h.
1025 С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если:
1026 В треугольнике ABC АС = 12 см, &ang;A= 75°, &ang;C=60°. Найдите АВ и SABC
1027 Найдите стороны треугольника ABC, если &ang;A=45°, &ang;C=30°, а высота AD равна 3 м.
1028 В параллелограмме ABCD AD=7&frac13;м, BD=4,4 м, &ang;A=22°30&#039;. Найдите &ang;BDC и &ang;DBC.
1029 Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна а, а прилежащие к этой стороне углы равны &alpha; и &beta;.
1030 Смежные стороны параллелограмма равны а и b, а один из его углов равен &alpha;. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними.
1031 Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны: а) 5, 4 и 4; б) 17, 8 и 15; в) 9, 5 и 6.
1032 Две равные по величине силы приложены к одной точке под углом 72° друг к другу. Найдите величины этих сил, если величина их равнодействующей равна 120 кг.
1033 Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.
1034 В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно 10 см, а угол при основании равен 70°. Найдите периметр трапеции.
1035 В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если АВ=13 см, СЕ = 9 см, ED=4 см и расстояние между точками В и D равно 4&radic;3 см.
1036 Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить (рис. 298). Основание башни он видит под углом 2° к горизонту, а вершину — под углом 45° к горизонту. Какова высота башни?
1037 Для определения ширины реки отметили два пункта А и B на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы САВ и ABC, где С — дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды. Оказалось, что &ang;CAB= 12°30&#039;, &ang;ABC=72°42&#039;. Найдите ширину
1038 На горе находится башня, высота которой равна 100 м (рис. 299). Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины B башни под углом 60° к горизонту, а потом с ее основания С под углом 30°. Найдите высоту Н горы.
1039 Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АС ; б) АВ и DA; в) ОА и ОВ; г) АО и ОВ; д) ОА и ОС; е) АС и BD; ж) AD и DB; з) АО и ОС.
1040 Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диагональ BD равна стороне ромба. Найдите угол между векторами: а) АВ и AD; б) АВ и DA; в) ВА и AD; г) ОС и OD; д) АВ и DA; е) АВ и CD.
1041 Вычислите скалярное произведение векторов а и b, если | а |=2, | b |=3, а угол между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°.
1042 В равностороннем треугольнике ABC со стороной а проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов: а) АВ• АС ; б) АС • СВ; в) АС• BD; г) АС • АС
1043 К одной и той же точке приложены две силы Р и Q, действующие под углом 120° друг к другу, причем |Р|=8, |Q| = 15. Найдите величину равнодействующей силы R.
1044 Вычислите скалярное произведение векторов а и b , если: а) a(&frac14; -1}, b{2; 3}; б) а{-5; 6}, b{6; 5}, в) а {1,5; 2}, b{4; -0,5}.
1045 Докажите, что ненулевые векторы а {х; у) и b {-у; x} перпендикулярны.
1046 Докажите, что векторы i +j и i-j перпендикулярны, если i и j — координатные векторы.
1047 При каком значении х векторы а и b перпендикулярны, если: а) а{4; 5}, b {х; -6}; б) а {x; -1}, b{3; 2}; в) а{0; -3}, b{5; x}?
1048 Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8), B(-1; 5), С(3; 1).
1049 Найдите углы треугольника с вершинами А (-1; &radic;3), В(1;-&radic;3 )иС(&frac12;; &radic;3 ).
1050 Вычислите | а + b | и | а - b |, если | а | = 5, | b | = 8, аb = 60°.
1051 Известно, что а с =b с = 60°, | а | = 1, | 6 | = | с | = 2. Вычислите ( а + b ) • с .
1052 Вычислите скалярное произведение векторов р = а - b - с и q = а - b + с , если |а| = 5, |б| = 2, | с | = 4 и а &perp; b .
1053 Вычислите скалярное произведение векторов а и b , если а= 3р - 2q и b = р + 4 q , где р и q — единичные взаимно перпендикулярные векторы.
1057 В равнобедренном треугольнике ABC АВ=АС=b, &ang;А = 30°. Найдите высоты BE и AD, а также отрезки АЕ, ЕС, ВС.
1058 Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ВС = 4,125 м, &ang;B = 44°, &ang;C = 72°; б) ВС = 4100 м, &ang;A = 32°, &ang;С = 120°.
1059 Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
1060 Используя теорему синусов, решите треугольник ABC, если:
1061 Используя теорему косинусов, решите треугольник ABC, если:
1062 В треугольнике DEF DE = 4,5 дм, EF=9,9 дм, DF=70 см. Найдите углы треугольника.
1063 Найдите биссектрису AD треугольника ABC, если &ang;A = &alpha;, АВ = с, АС = b.
1064 Чтобы определить расстояние между точками А и B, которое нельзя измерить, выбирают третью точку С, из которой видны точки А и B. Измерив угол АСВ и расстояния АС и СВ, находят расстояние АВ. Найдите AB, если АС = b, СВ = а, &ang;АСВ = &alpha;.
1065 Докажите, что треугольник с вершинами А (3; 0), B (1; 5) и С (2; 1) тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.
1066 Найдите длину вектора a=3i -4j , где i и j — координатные векторы.
1067 Найдите диагонали параллелограмма, построенного на векторах а = 5р + 2q и b=p-3q , если |р| = 2&radic;2 , | q | = 3 и p^q = 45°.
1068 При каком значении х векторы p=xa+17b и q = 3 а - b перпендикулярны, если | а | = 2, | b | = 5 и a^b=120°?
1069 В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Найдите острый угол между этими медианами.
1070 В трапеции ABCD с основаниями AD = 16 см и ВС=8 см боковая сторона равна 4&radic;7 см, a &ang;ADC = 60°. Через вершину С проведена прямая l, делящая трапецию на два многоугольника, площади которых равны. Найдите площадь трапеции и длину отрезка прямо
1071 В треугольнике ABC, площадь которого равна 3&radic;3 , угол А острый, АВ = 4&radic;3 , АС = 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.
1072 Дан ромб MNPQ. Отрезок MF — биссектриса треугольника MPQ, &ang;NMQ = 4&alpha;, FQ = а. Найдите площадь данного ромба.
1073 Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин: А(-1; 2), В( 1; -2), С (2; 0), D(1; 6). Докажите, что ABCD — трапеция, и найдите ее площадь.
1074 Точка М лежит на стороне ВС треугольника ABC и ВМ = kMC. Докажите, что
1075 В треугольнике ABC отрезок AD — биссектриса, AM — медиана, b = АС, с = АВ. Докажите, что:
1076 В параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что этот параллелограмм является ромбом.
1077 Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных около треугольников; б) вписанных в эти треугольники.
1054 Докажите, что если AM — медиана треугольника ABC, то 4АМ2 = АВ2 + АС2 + 2АВ • АС • cos А. Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
1055 Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.
1056 Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
1078 Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным? Ответ обоснуйте.
1079 Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны; б) треугольник является правильным, если все его углы равны; в) любой равносторонний треугольник является правильным; г) любой четыр
1080 Докажите, что любой правильный четырехугольник является квадратом.
1081 Найдите углы правильного n-угольника, если: а) n=3; б) n = 5; в) n=6; г) n = 10; д) n = 18.
1082 Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу?
1083 Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен: а) 60°; б) 90°; в) 135°; г) 150°?
1084 Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона, равна: а) 60°; б) 30°; в) 90°; г) 36°; д) 18°; е) 72°?
1085 Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.
1086 Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают.
1087 На рисунке 311, а изображен квадрат, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (а4 — сторона квадрата, Р — периметр квадрата, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности).
1088 На рисунке 311, б изображен правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (а3 — сторона треугольника, Р — периметр треугольника, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности).
1089 Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.
1090 Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?
1091 Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной 6 см. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска.
1092 Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см.
1093 Около правильного треугольника описана окружность радиуса R. Докажите, что R=2r, где r — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
1094 Найдите площадь S правильного n-угольника, если: а) n = 4, R=3&radic;2 см; б) n = 3, Р = 24 см; в) n = 6, r=9 см; г) n=8, r=5&radic;3 см.
1095 Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, верхнее основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь верхнего основания.
1096 Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.
1097 Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около нее.
1098 Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности.
1099 Правильный восьмиугольник А1А2...А8 вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырехугольник A3A4A7A8 является прямоугольником, и выразите его площадь через R.
1100 С помощью циркуля и линейки в данную окружность впишите: а) правильный шестиугольник; б) правильный треугольник; в) квадрат; г) правильный восьмиугольник.
1129 Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из внешних углов которого равен: а) 18°; б) 40°; в) 72°; г) 60°?
1130 На стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 3 дм, построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.
1131 Найдите периметр правильного шестиугольника A1A2A3A4A5A6, если A1A4 =2,24 см.
1132 Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата: а) вписанных в одну и ту же окружность; б) описанных около одной и той же окружности.
1133 Диагонали А1А6 и А2А9 правильного двенадцатиугольника пересекаются в точке В (рис. 318). Докажите, что: а) треугольники А1А2В и А6А9В равносторонние; б) А1А6 = 2 r, где r — радиус вписанной в двенадцатиугольник окружности.
1134 Диагонали А1А4 и А2А7 правильного десятиугольника A1A2...A10, вписанного в окружность радиуса R, пересекаются в точке В (рис. 319). Докажите, что: а) А2А7 = 2R; б) А1А2В и ВА4O — подобные равнобедренные треугольники; в) А1А4-А1А2 = R.
1135 В круг, площадь которого равна 36&pi; см2, вписан правильный шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника и его площадь.
1136 Квадрат А1А2А3А4 вписан в окружность радиуса R (рис. 320). На его сторонах отмечены восемь точек так, что A1B1=A2B2=A3B3=A4B4=A1C1=A2C2= A3C3 = A4C4= R. Докажите, что восьмиугольник B1C3B2C4B3C1B4C2 правильный, и выразите площадь этого восьмиугольник
1137 За два оборота по круговой орбите вокруг Земли космический корабль проделал путь 84 152 км. На какой высоте над поверхностью Земли находится корабль, если радиус Земли равен 6370 км?
1138 Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если: а) диагонали ромба равны 6 см и 8 см; б) сторона ромба равна а и острый угол равен &alpha;.
1139 Лесной участок имеет форму круга. Чтобы обойти этот участок по опушке, идя со скоростью 4 км/ч, нужно затратить на 45 мин больше, чем для того, чтобы пересечь его по диаметру. Найдите длину опушки данного участка.
1140 В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника.
1141 Фигура ограничена большими дугами двух окружно-стей, опирающимися на общую хорду, длина которой равна 6 см. Для одной окружности эта хорда является стороной вписанного квадрата, для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите сум
1142 Основания трапеции, около которой можно описать окружность, равны 4 см и 14 см, а одна из боковых сторон равна 13 см. Найдите длину описанной окружности.
1143 Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника (см. задачу 2, п. 63). Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольни
1144* Постройте правильный восьмиугольник, сторона которого равна данному отрезку.
1145* Даны два круга. Постройте круг, площадь которого равна сумме площадей данных кругов.
1146 Около данной окружности опишите: а) правильный треугольник; б) правильный шестиугольник.
1147 Около данной окружности опишите: а) правильный четырехугольник; б) правильный восьмиугольник.
1148 Докажите, что при осевой симметрии плоскости: а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии; б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.
1149 Докажите, что при центральной симметрии плоскости: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
1150 Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.
1151 Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.
1152 Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.
1153 Докажите, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.
1154 Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением.
1155 ABC и А1В1С1 — произвольные треугольники. Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки А, В и С отображаются в точки A1 ,B1, C1.
1156 В треугольниках ABC и А1В1С1 АВ=А1В1, AС=A1С1, ВС=В1С1. Докажите, что существует движение, при котором точки А, В и С отображаются в точки A1, В1 и C1, притом только одно.
1157 Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма.
1158 Даны две прямые а и b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при осевой симметрии с осью а.
1159 Даны прямая а и четырехугольник ABCD. Постройте фигуру F, на которую отображается данный четырехугольник при осевой симметрии с осью а. Что представляет собой фигура F?
1160 Даны точка О и прямая b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при центральной симметрии с центром О.
1161 Даны точка О и треугольник ABC. Постройте фигуру F, на которую отображается треугольник ABC при центральной симметрии с центром О. Что представляет собой фигура F?
1162 Начертите отрезок AB и вектор MM1. Постройте отрезок A1B1, который получается из отрезка АВ параллельным переносом на вектор MM1.
1163 Начертите треугольник ABC, вектор ММ1, который не параллелен ни одной из сторон треугольника, и вектор а, параллельный стороне АС. Постройте треугольник A1B1C1, который получается из треугольника ABC параллельным переносом: а) на вектор ММ1; б) на ве
1164 Даны равнобедренный треугольник ABC с основанием АС и точка D на прямой АС, такая, что точка С лежит на отрезке AD. а) Постройте отрезок B1D, который получается из отрезка ВС параллельным переносом на вектор CD. б) Докажите, что четырехугольник ABB1D
1165 Даны треугольник, трапеция и окружность. Постройте фигуры, которые получаются из этих фигур параллельным переносом на данный вектор а.
1166 Постройте отрезок A1B1, который получается из данного отрезка AB поворотом вокруг данного центра О: а) на 120° по часовой стрелке; б) на 75° против часовой стрелки; в) на 180°.
1167 Постройте треугольник, который получается из данного треугольника ABC поворотом вокруг точки А на угол 150° против часовой стрелки.
1168 Точка D является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника ABC. Докажите, что при повороте вокруг точки D на угол 120° треугольник ABC отображается на себя.
1169 Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90° квадрат отображается на себя.
1170 Постройте окружность, которая получается из данной окружности с центром С поворотом вокруг точки О на угол 60° против часовой стрелки, если: а) точки О и С не совпадают; б) точки О и С совпадают.
1171 Постройте прямую a1, которая получается из данной прямой а поворотом вокруг точки О на угол 60° по часовой стрелке, если прямая а: а) не проходит через точку О; б) проходит через точку О.
1172 При данном движении каждая из двух точек А и В отображается на себя. Докажите, что любая точка прямой АВ отображается на себя.
1173 При данном движении каждая из вершин треугольника ABC отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости отображается на себя.
1174 Докажите, что два прямоугольника равны, если: а) смежные стороны одного прямоугольника соответственно равны смежным сторонам другого; б) сторона и диагональ одного прямоугольника соответственно равны стороне и диагонали другого.
1175 Даны прямая а и точки М и N, лежащие по одну сторону от нее. Докажите, что на прямой а существует единственная точка X, такая, что сумма расстояний MX+XN имеет наименьшее значение.
1176 Даны острый угол ABC и точка D внутри него. Используя осевую симметрию, найдите на сторонах данного угла такие точки Е и F, чтобы треугольник DEF имел наименьший периметр.
1177 В треугольнике ABC медианы AA1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 являются соответственно серединами отрезков AM, ВМ и СМ. Докажите, что &Delta;A1B1C1= &Delta;А2B2С2.
1178 На сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD построены квадраты так, как показано на рисунке 332. Используя параллельный перенос, докажите, что отрезок, соединяющий центры этих квадратов, равен и параллелен стороне AD.
1179* На стороне АВ прямоугольника ABCD построен треугольник ABS, СС1 &perp; AS, DD1 &perp; BS, как показано на рисунке 333. Используя параллельный перенос, докажите, что прямые SK и АВ взаимно перпендикулярны .
1180 В окружность с центром О вписаны два равносторонних треугольника ABC и A1B1C1, причем вершины обозначены так, что направление обхода по дуге ABC от точки А к точке С совпадает с направлением обхода по дуге А1В1С1 от точки А1 к точке C1. Используя пов
1181 Даны две пересекающиеся прямые и точка О, не лежащая ни на одной из них. Используя центральную симметрию, постройте прямую, проходящую через точку О, так, чтобы отрезок этой прямой, отсекаемый данными прямыми, делился точкой О пополам.
1182 Используя параллельный перенос, постройте трапецию по ее основаниям и диагоналям.
1183 Даны две параллельные прямые b и с и точка А, не лежащая ни на одной из них них. Постройте равносторонний треугольник ABC так, чтобы вершины В и С лежали соответственно на прямых b и c. Сколько решений имеет задача?
1184 Сколько граней, ребер и вершин имеет: а) прямоугольный параллелепипед; б) тетраэдр; в) октаэдр?
1185 Докажите, что число вершин любой призмы четно, а число ребер кратно 3.
1186 Докажите, что площадь боковой поверхности прямой призмы (т. е. сумма площадей ее боковых граней) равна произведению периметра основания на боковое ребро.
1187 Существует ли параллелепипед, у которого: а) только одна грань — прямоугольник; б) только две смежные грани — ромбы; в) все углы граней — острые; г) все углы граней — прямые; д) число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней?
1188 На трех ребрах параллелепипеда даны точки А, B и С. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти точки.
11891 Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью: а) АВС1; б)АСС1. Докажите, что построенные сечения — параллелограммы.
1190 Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте точки М и N соответственно на ребрах ВВ1 и СС1. Постройте точку пересечения: а) прямой MN с плоскостью ABC; б) прямой AM с плоскостью A1B1C1.
1191 Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение — трапеция.
1192 Изобразите параллелепипед ABCDAiB1C1D1 и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки М, N и К лежат соответственно на ребрах: а) ВВ1, АA1, AD; б) CC1, AD, BB1.
1193 Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны а) 1, 1, 2; б) 8, 9, 12; в) &radic;39 , 7, 9.
1194 Ребро куба равно а. Найдите диагональ этого куба.
1195 Тело R состоит из тел Р и Q, имеющих соответственно объемы V1 и V2. Выразите объем V тела R через V1 и V2, если: а) тела Р и Q не имеют общих внутренних точек; б) тела Р и Q имеют общую часть, объем которой равен &frac13;V1.
1196 Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.
1197 Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если АС1= 13 см, BD = 12 см и ВС1=11 см.
1198 Докажите, что объем призмы равен произведению площади основания на высоту.
1199 Найдите объем прямой призмы АВСА1В1C1, если &ang;BAC = 120°, АВ = 5 см, АС=3 см, а наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2.
1200 Найдите объем правильной n-угольной призмы, все ребра которой равны а, если: а) n=3; б) n = 4; в) n=6; г) n=8.
1201 Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней — прямые?
1202 Изобразите тетраэдр DABC и на ребрах DB, DC и ВС отметьте соответственно точки М, N и К. Постройте точку пересечения: а) прямой MN и плоскости ABC; б) прямой KN и плоскости ABD.
1203 Изобразите тетраэдр KLMN и постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину А ребра MN.
1204 Изобразите тетраэдр DABC отметьте точки М и N на ребрах BD и CD и внутреннюю точку К грани ABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.
1205 Докажите, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.
1206 Докажите, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды (т. е. сумма площадей ее боковых граней) равна половине произведения периметра основания на апофему.
1207 Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если ее высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.
1208 Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона ее основания равна а, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведенного через вершину пирамиды и большую диагональ основания.
1209* Через точку Н1 высоты PH пирамиды РА1A2...An проведена секущая плоскость &beta;, параллельная плоскости &alpha; ее основания. Докажите, что площадь полученного сечения равна
1210 Докажите, что объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
1211 Найдите объем пирамиды с высотой h, если: а) h=2 м, а основанием является квадрат со стороной 3 м; б) h=2,2 м, а основанием является треугольник ABC, в котором АВ=20 см, BC= 13,5 см, &ang;АВС=30°.
1212 Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если сторона ее основания равна т, а плоский угол при вершине равен а.
1213 Докажите, что объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
1214 Пусть V, r и h — соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите: а) V, если r = 2&radic;2 см, h = 3 см; б) r, если V=120 см3, h = 3,6 см; в) h, если r=h, V= 8&pi; см3.
1215 В цилиндр вписана правильная n-угольная призма (т. е. основания призмы вписаны в основания цилиндра). Найдите отношение объемов призмы и цилиндра, если: а) n=3; б) n=4; в) n = 6; г) n= 8; г) n — произвольное натуральное число.
1216 Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
1217 Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади ее боковой поверхности?
1218 Один цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD вокруг прямой АВ, а другой цилиндр — вращением этого же прямоугольника вокруг прямой ВС. а) Докажите, что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны, б) Найдите отношение площадей полных повер
1219* Докажите, что объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
1220 Пусть h, r и V — соответственно высота, радиус основания и объем конуса. Найдите: а) V, если h = 3 см, r = 1,5 см; б) h, если r = 4 см, V=48&pi; см3; в) r, если h = m, V=p.
1221 Найдите объем конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна Р.
1222 Площадь полной поверхности конуса равна 45&pi; дм2. Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор с дугой в 60°. Найдите объем конуса.
1223 Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.
1224* Докажите, что объем шара радиуса R равен 4/3&pi;R3.
1225 Сферу радиуса R покрасили слоем краски толщины d. Слоем такой же толщины покрасили многоугольник и затратили при этом такое же количество краски. Найдите площадь многоугольника.
1226 Пусть V — объем шара радиуса R, S — площадь его поверхности. Найдите: a) S и V, если R=4 см; б) R и S, если V= 113,04 см3; в) R и V, если S = 64&pi; см2.
1227 Диаметр Луны составляет (приближенно) четвертую часть диаметра Земли. Сравните объемы Луны и Земли, считая их шарами.
1228 Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?
1229 Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см (на швы добавить 8% от площади поверхности мяча)?
1230 Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.
1231 Отношение объемов двух шаров равно 8. Как относятся площади их поверхностей?
1232 Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трех ребер, имеющих общую вершину.
1233 Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер.
1234 Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечения плоскостями АВС1 и DCB1 а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются; б) его сечение плоскостью, проходящей через ребро СС1 и точку пересечения диагоналей грани AA1D1D).
1235 Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью BKL, где К — середина ребра AA1 , a L — середина ребра СС1. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.
1236 Сумма площадей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна 404 дм2, а его ребра пропорциональны числам 3, 7 и 8. Найдите диагональ параллелепипеда.
1237 Найдите объем куба ABCDA1B1C1D1, если: а) АС =12 см; б) АС = 3&radic;2 ; в) DE=1 см, где Е — середина ребра АВ.
1238 Найдите объем прямой призмы АВСА1B1С1, если AB=BC=m, &ang;ABC=&phi; и BB1=BD, где BD — высота треугольника ABC.
1239 Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объем призмы.
1240 Изобразите тетраэдр DABC, отметьте точку К на ребре DC и точки М и N граней ABC и ACD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.
1241 Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь поверхности пирамиды, т. е. сумму площадей всех ее граней.
1242 Найдите объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а сторона основания равна 13 см.
1243 В правильной n-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен а, а сторона основания равна а. Найдите объем пирамиды.
1244 Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найдите длину провода (плотность алюминия равна 2,6 г/см3).
1245 Свинцовая труба (плотность свинца равна 11,4 г/см3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса трубы, если ее длина равна 25 м?
1246 Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288&pi; см2. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.
1247 Из квадрата, диагональ которого равна d, свернута боковая поверхность цилиндра. Найдите площадь ос-нования цилиндра.
1248 Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объем этого конуса, если объем отсекаемого от него конуса равен 24 см3.
1249 Высота конуса равна 12 см, а его объем равен 324&pi; см3. Найдите дугу развертки боковой поверхности этого конуса.
1250 Вычислите площадь основания и высоту конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен 9 см, а дуга равна 120°.
1251 Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна m, а угол при основании равен &phi;, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при этом вращении.
1252 Шар и цилиндр имеют равные объемы, а диаметр шара равен диаметру цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара.
1253 В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1 см. На сколько изменится уровень воды в мензурке?
1254 Вода покрывает приблизительно &frac34; земной поверхности. Сколько квадратных километров земной поверхности занимает суша (радиус Земли считать равным 6375 км)?
1255 В каком отношении находятся объемы двух шаров, если площади их поверхностей относятся как m2 : n2?
1256 Вершины четырехугольника ABCD имеют координаты А (х1; у1), В (х2; у2), С (х3; у3) и D (х4; y4). Докажите, что этот четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда х1+ х3= х2+ х4 и y1+ y3=y2+y4.
1257 Даны две точки А (х1; у1) и В (х2; у2). Докажите, что координаты (х; у) точки С, делящей отрезок АВ в отношении &lambda; (т. е. AC/CB = &lambda;), выражаются формулами
1258 Из физики известно, что центр тяжести однородной треугольной пластинки находится в точке пересечения медиан. Найдите координаты центра тяжести такой пластинки, если координаты ее вершин равны: (x1; y1), (х2; у2), (х3; у3).
1259 Вершины треугольника ABC имеют координаты А (-3; 0), В (0; 4), С (3; 0). Биссектриса угла А пересекает сторону и ВС в точке D. Найдите координаты точки D.
1260 В треугольнике ABC АС=9 см, ВС= 12 см. Медианы AM и BN взаимно перпендикулярны. Найдите АВ.
1261 Найдите координаты центра тяжести системы трех масс m1, m2 и m3, сосредоточенных соответственно в точках А1 (x1; y1), А2 (х2; у2), А3 (х3; у3).
1262 В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите точку М, для которой сумма ее расстояний от точек А и В имеет наименьшее значение: а) А(2; 3), В (4; -5); б) А (-2; 4), B (3; 1).
1263 Докажите, что: а) уравнение Ах+Ву+С=0, где А и В одновременно не равны нулю, является уравнением прямой; б) уравнение х2-ху- 2 = 0 не является уравнением окружности.
1264 Найдите точки пересечения двух окружностей, заданных уравнениями (x— 1)2+(y— 2)2=4 и х2+у2= 1, и вычислите длину их общей хорды.
1265 Даны три точки А, B, С и три числа а, р, у. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых сумма &alpha;AM2 + &beta;ВМ2 + &gamma;СМ2 имеет постоянное значение, если:
1266 Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. Для каждой точки М1 прямой а на луче АМ1 взята точка М, такая, что АМ1• AM = k, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек М.
1267 Точка О не лежит на данной окружности. Для каждой точки М1 окружности на луче ОМ1 взята точка М, такая, что ОМ = k • ОМ1, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек М.
1268 Пусть А и B — данные точки, k — данное положительное число, не равное 1. а) Докажите, что множество всех точек М, удовлетворяющих условию АМ=kBM, есть окружность (окружность Аполлония). б) Докажите, что эта окружность пересекается с любой окружностью
1269 На сторонах квадрата MNPQ взяты точки А и В так, что NA =&frac12;MN, QB = &frac13;MN (рис. 369). Докажите, что &ang;АМВ = 45°.
1270 В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Площадь треугольника ODC есть среднее пропорциональное между площадями треугольников ОВС и OAD. Докажите, что ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС или параллелограмм.
1271 Докажите, что площадь S произвольного четырехугольника со сторонами а, b, с, d (последовательно) удовлетворяет неравенству
1272 Докажите, что в треугольнике ABC биссектриса АА1 вычисляется по формуле
1273 Выразите диагонали вписанного в окружность четырехугольника через его стороны.
1274 Докажите, что площадь четырехугольника, вписанного в окружность, может быть вычислена по формуле
1275 Докажите, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна к одной из биссектрис треугольника.
1276 В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание AD равно 3, а боковая сторона CD, не перпендикулярная к основаниям, равна 6. Точка Е - середина отрезка CD, угол СВЕ равен &alpha;. Найдите площадь трапеции ABCD.
1277 В остроугольном треугольнике ABC сторона АВ больше стороны ВС, отрезки AM и CN — высоты треугольника, точка О — центр описанной окружности. Угол ABC равен &beta;, а площадь четырехугольника NOMB равна S. Найдите сторону АС.
1278 В треугольнике ABC проведены высота АН длиной h, медиана AM длиной l, биссектриса AN. Точка N — середина отрезка МН. Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения высот треугольника ABC.
1279 На рисунке 370 изображен правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса R, АС — биссектриса угла OAB. Докажите, что:
1280 Докажите, что отрезок АК, изображенный на рисунке 371, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром О.
1281 Около правильного пятиугольника А1А2А3А4А5 описана окружность с центром О. Вершинами треугольника ABC являются середины сторон A1A2, А2А3 и А3А4 пятиугольника. Докажите, что центр О данной окружности и центр О1 окружности, вписанной в треугольник ABC
1282* В данную окружность впишите правильный десятиугольник.
1283 В данную окружность впишите правильный пятиугольник.
1284 В данную окружность впишите пятиконечную звезду.
1285 Пусть М — произвольная точка, лежащая внутри правильного n-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров, проведенных из точки М к прямым, содержащим стороны n-угольника, равна nr, где r — радиус вписанной окружности.
1286 Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Докажите, что середины сторон и основания высот этого треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.
1287 Пусть ABCD — квадрат, а А1В1С1 - правильный треугольник, вписанные в окружность радиуса R. Докажите, что сумма AB+А1B1 равна длине полуокружности с точностью до 0,01R.
1288 По данным рисунка 372 докажите, что длина отрезка АС равна длине окружности с центром О радиуса R с точностью до 0,001R.
1289 На рисунке 373 изображены четыре полуокружности: АЕВ, АКС, CFD, DLB, причем AC=DB. Докажите, что площадь закрашенной фигуры равна площади круга, построенного на отрезке EF как на диаметре.
1290 Построить границу круга, площадь которого равна: а) площади кольца между двумя данными концентрическими окружностями; б) площади данного полукруга; в) площади данного кругового сектора, ограниченного дугой в 60°.
1291 При данном движении g точка А отображается в точку B, а точка В — в точку А. Докажите, что g — центральная симметрия или осевая симметрия.
1292 Даны два равных отрезка АВ и A1B1. Докажите, что существуют два и только два движения, при которых точки А и B отображаются соответственно в точки А1 и B1.
1293 Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны диагоналям и углу между ними другого.
1294 Докажите, что две трапеции равны, если основания и боковые стороны одной трапеции соответственно равны основаниям и боковым сторонам другой.
1295 Докажите, что два треугольника равны, если две неравные стороны и разность противолежащих им углов одного треугольника соответственно равны двум сторонам и разности противолежащих им углов другого.
1296 Вершины одного параллелограмма лежат соответственно на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.
1297 Даны две окружности и прямая. Постройте правильный треугольник так, чтобы две вершины лежали соответственно на данных окружностях, а высота, проведенная из третьей вершины, — на данной прямой.
1298 На стороне угла АОВ, с недоступной вершиной, дана точка М. Постройте отрезок, равный отрезку ОМ.
1299 Даны две пересекающиеся окружности. Постройте отрезок, концы которого лежат соответственно на данных окружностях, а его середина совпадает с одной из точек пересечения данных окружностей.
1300 Постройте треугольник по трем медианам.
1301 Постройте трапецию, стороны которой соответственно равны данным отрезкам.
1302 Даны точки А и B и две пересекающиеся прямые с и d. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы вершины С и D лежали соответственно на прямых c и d.
1303 Даны прямая, окружность и точка А, не лежащая на них. Постройте квадрат ABCD так, чтобы вершина B лежала на данной прямой, а вершина D — на данной окружности.
1304 Все плоские углы тетраэдра ОABC при вершине О — прямые. Докажите, что квадрат площади треугольника ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора).
1305 Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник.
1306 Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удаленных от него вершин куба. Как должен двигаться паук?
1307 Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.
1308 Плоскости АВ1С1 и А1ВС разбивают правильную треугольную призму АВСА1В1С1 на четыре части. Найдите объемы этих частей, если объем призмы равен V.
1309 Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объемы которых равны.
1310 Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания а и плоским углом а при вершине вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объем полученного тела.

Комментариев нет:

Отправить комментарий