Блог о ЕГЭ: Математика. B13. ЕГЭ для чайников ! Часть 2.

Задание В13 — это не только задачи на движение и работу. Есть еще задания на проценты, на растворы, сплавы и смеси, на движение по окружности и нахождение средней скорости. О них мы и расскажем.
Начнем с задач на проценты. С этой темой мы уже познакомились в задаче $B1$ . В частности, сформулировали важное правило: за $100\%$ мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.
Мы также вывели полезные формулы:
если величину $x$ увеличить на $p$ процентов, получим $x\cdot \left( 1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)$ .
если величину $x$ уменьшить на $p$ процентов, получим $x\cdot \left( 1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)$ .
если величину $x$ увеличить на $p$ процентов, а затем уменьшить на $q\%$ , получим $x\cdot \left( 1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)\left( 1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)$ .
если величину $x$ дважды увеличить на $p$ процентов, получим $x\cdot \left( 1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)^2$
если величину $x$ дважды уменьшить на $p$ процентов, получим $x\cdot \left( 1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)^2$
Воспользуемся ими для решения задач $B13$ .

$1$ . В $2008$ году в городском квартале проживало $40000$ человек. В $2009$ году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на $8\%$ , а в $2010$ году — на $9\%$ по сравнению с $2009$ годом. Сколько человек стало проживать в квартале в $2010$ году?

По условию, в $2009$ году число жителей выросло на $8\%$ , то есть стало равно $4000 \cdot 1,08=43200$ человек.
А в $2010$ году число жителей выросло на $9\%$ , теперь уже по сравнению с $2009$ годом. Получаем, что в $2010$ году в квартале стало проживать $40000 \cdot 1,08 \cdot 1,09 = 47088$ жителей.
Следующая задача предлагалась на пробном ЕГЭ по математике в декабре $2010$ года. Она проста, но справились с ней немногие.

$2$ . В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на $4\%$ дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

На первый взгляд кажется, что в условии ошибка и цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов! Но не будем спешить. Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили $x$ рублей. К вечеру понедельника они подорожали на $p\%$ и стали стоить $x\cdot \left(1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)$ . Теперь уже эта величина принимается за $100\%$ , и к вечеру вторника акции подешевели на $p\%$ по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу:

	в понедельник утром	в понедельник вечером	во вторник вечером
Стоимость акций	$x$	$x\cdot \left(1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)$	$x\cdot \left(1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) \left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)$

По условию, акции в итоге подешевели на $4\%$ .
Получаем, что
$x\cdot \left(1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) \left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)=x\cdot \left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 100} \right)$
Поделим обе части уравнения на $x$ (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения.
$1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p^2}{\displaystyle 100^2}=1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 100}$
$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p^2}{\displaystyle 100^2}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 100}$
По смыслу задачи, величина $p$ положительна.
Получаем, что $p=20$ .

$3$ . Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за $2000$ рублей, через два года был продан за $15842$ рублей.

Эта задача тоже решается по одной из формул, приведенных в начале статьи. Холодильник стоил $20000$ рублей. Его цена два раза уменьшилась на $p\%$ , и теперь она равна
$20000\cdot \left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) ^2=15842$
$\left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) ^2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 15842}{\displaystyle 20000}$
$\left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) ^2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7721}{\displaystyle 10000}$
$1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 89}{\displaystyle 100}$
$p=11$ .

$4$ . Четыре рубашки дешевле куртки на $8\%$ . На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Пусть стоимость рубашки равна $x$ , стоимость куртки $y$ . Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет $96\%$ от цены куртки, то есть
$4x=0,92y$ .
Стоимость одной рубашки — в $4$ раза меньше:
$x=0,23y$ ,
а стоимость пяти рубашек:
$5x=1,15y=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 115}{\displaystyle 100}y=115\%y$
Получили, что пять рубашек на $15\%$ дороже куртки.
Ответ: $15$ .

$5$ . Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на $67\%$ . Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на $4\%$ . Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Нарисуем таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась…») назовем «ситуация $A$ » и «ситуация $B$ ».

	муж	жена	дочь	Общий доход
В реальности	$x$	$y$	$z$	$x+y+z$
Ситуация $A$	$2x$	$y$	$z$	$1,67 \left( x+y+z \right)$
Ситуация $B$	$x$	$y$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}z$	$0,96 \left( x+y+z \right)$

Осталось записать систему уравнений.
$\left\{\begin{matrix}2x+y+z=1,67\left( x+y+z \right)\\ x+y+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}z=0,96\left( x+y+z \right)\end{matrix}\right.$
Но что же мы видим? Два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти $x$ , $y$ и $z$ по отдельности. Правда, нам это и не нужно. Лучше возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму $x+y+z$ . Получим:
$x=0,96\left( x+y+z \right)$
Это значит, что зарплата мужа составляет $67\%$ от общего дохода семьи.
Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение $x+y+z$ , упростим и получим, что
$x=0,06\left( x+y+z \right)$
Значит, стипендия дочки составляет $6\%$ от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет $27\%$ общего дохода.
Ответ: $27$ .

Следующий тип задач — задачи на растворы, смеси и сплавы. Они встречаются не только в математике, но и в химии. Мы расскажем о самом простом способе их решения.

$6$ . В сосуд, содержащий $5$ литров $12$ -процентного водного раствора некоторого вещества, добавили $7$ литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим $x$ .

Первый сосуд содержал $0,12 \cdot 5=0,6$ литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:
$0,12 \cdot 5=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x}{\displaystyle 100} \cdot 12$
$x=5$ .

$7$ . Смешали некоторое количество $15$ -процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством $19$ -процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Пусть масса первого раствора равна $x$ . Масса второго — тоже $x$ . В результате получили раствор массой $2x$ . Рисуем картинку.

Получаем: $0,15x+0,19x=0,34x=0,17\cdot 2x$
Ответ: $17$ .

$8$ . Виноград содержит $90\%$ влаги, а изюм — $5\%$ . Сколько килограммов винограда требуется для получения $20$ килограммов изюма?

Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось $90\%$ воды, значит, «сухого вещества» было $10\%$ . В изюме $5\%$ воды и $95\%$ «сухого вещества». Пусть из $x$ кг винограда получилось $20$ кг изюма. Тогда
$10\%$ от $x=95\%$ от $20$
Составим уравнение:
$0,1x=0,95\cdot20$
и найдем $x$ .
Ответ: $190$ .

$9$ . Имеется два сплава. Первый сплав содержит $10\%$ никеля, второй — $30\%$ никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой $200$ кг, содержащий $25\%$ никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава равна x, а масса второго равна y. В результате получили сплав массой $x+y=200$ .

Запишем простую систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix}x+y=200\\ 0,1x+0,3y=0,25 \cdot200\end{matrix}\right.$
Первое уравнение — масса получившегося сплава, второе — масса никеля.
Решая, получим, что $x=50, y=150$ .
Ответ: $100$ .

$10$ . Смешав $30$ -процентный и $60$ -процентный растворы кислоты и добавив $10$ кг чистой воды, получили $36$ -процентный раствор кислоты. Если бы вместо $10$ кг воды добавили $10$ кг $50$ -процентного раствора той же кислоты, то получили бы $41$ -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов $30$ -процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть масса первого раствора $x$ , масса второго равна $y$ . Масса получившегося раствора равна $x+y+10$ . Запишем два уравнения, для количества кислоты.
$\left\{\begin{matrix}0,3x + 0,6y = 0,36 \left(x + y + 10\right)\\ 0,3x + 0,6y + 0,5 \cdot 10 = 0,41 \left(x + y + 10\right)\end{matrix}\right.$
Решаем получившуюся систему. Сразу умножим обе части уравнений на $100$ , поскольку с целыми коэффициентами удобнее работать, чем с дробными. Раскроем скобки.
$\left\{\begin{matrix}30x + 60y = 36x + 36y + 360\\ 30x + 60y + 500 = 41x + 41y + 410\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}4y - x = 60\\ 11x - 19y = 90\end{matrix}\right.$
$x=60, y=30$
Ответ: $60$ .

Задачи на движение по окружности также оказались сложными для многих школьников. Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение. В них тоже применяется формула $S=v \cdot t$ . Но есть одна хитрость, о которой мы расскажем.

$11$ . Из пункта $A$ круговой трассы выехал велосипедист, а через $30$ минут следом за ним отправился мотоциклист. Через $10$ минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через $30$ минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна $30$ км. Ответ дайте в км/ч.

Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за $x$ и $y$ . В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через $10$ минут, то есть через $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}$ часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути $40$ минут, то есть $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$ часа.
Запишем эти данные в таблицу:

	$v$	$y$	$S$
велосипедист	$x$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}x$
мотоциклист	$y$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}y$

Оба проехали одинаковые расстояния, то есть $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}y=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}x$ .
Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через $30$ минут, то есть через $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$ часа после первого обгона.
Нарисуем вторую таблицу.

	$v$	$t$	$S$
велосипедист	$x$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}x$
мотоциклист	$y$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}y$

А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг — это длина трассы, она равна $30$ км. Получим второе уравнение:
$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}y-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}x=30$
Решим получившуюся систему.
$\left\{\begin{matrix}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}y=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}x\\\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}y-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}x=30\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}y=4x\\ y-x=60\end{matrix}\right.$
Получим, что $x=20, y=80$ . В ответ запишем скорость мотоциклиста.
Ответ: $80$ .

$12$ . Часы со стрелками показывают $8$ часов $00$ минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Это, пожалуй, самая сложная задача $B13$ . Конечно, есть простое решение — взять часы со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через $4$ часа, ровно в $12$ . $00$ .
А как быть, если у вас электронные часы и вы не можете решить задачу экспериментально?
За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}$ часть круга. Пусть их скорости равны $1$ (круг в час) и $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}$ (круга в час). Старт — в $8$ . $00$ . Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.
Минутная стрелка пройдет на $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$ круга больше, поэтому уравнение будет таким:
$1 \cdot t - \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}t=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$
Решив его, получим, что $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 8}{\displaystyle 11}$ часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 8}{\displaystyle 11}$ часа. Пусть во второй раз они поравняются через время $z$ . Минутная стрелка пройдет расстояние $1 \cdot z$ , а часовая $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}z$ , причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:
$1 \cdot z-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}z=1$
Решив его, получим, что $z=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11}$ часа. Итак, через $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11}$ часа стрелки поравняются во второй раз, еще через $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11}$ часа — в третий, и еще через $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11}$ часа — в четвертый.
Значит, если старт был в $8$ . $00$ , то в четвертый раз стрелки поравняются через
$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 8}{\displaystyle 11}+3\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11}$ часа.
Ответ полностью согласуется с «экспериментальным» решением! :-)
На экзамене по математике вам может также встретиться задача о нахождении средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:
$v_{cp}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle S_o}{\displaystyle t_o}$ ,
где $v_{cp}$ — средняя скорость, $S_o$ - общий путь, $t_o$ — общее время.
Если участков пути было два, то
$v_{cp}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle S_1 + S_2}{\displaystyle t_1+t_2}$

$13$ . Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью $20$ км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью $480$ км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Мы не знаем, каким было расстояние, которое преодолел путешественник. Знаем только, что это расстояние было одинаковым на пути туда и обратно. Для простоты примем это расстояние за $1$ (одно море). Тогда время, которое путешественник плыл на яхте, равно $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 20}$ , а время, затраченное на полет, равно $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 480}$ . Общее время равно $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 20}+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 480}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 25}{\displaystyle 480}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5}{\displaystyle 96}$ .
Средняя скорость равна $38,4$ км/ч.
Ответ: $38,4$ .

Покажем еще один эффектный прием, помогающий быстро решить систему уравнений в задаче $B13$ .

$14$ . Андрей и Паша красят забор за $9$ часов. Паша и Володя красят этот же забор за $12$ часов, а Володя и Андрей — за $18$ часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Мы уже решали задачи на работу и производительность. Правила те же. Отличие лишь в том, что здесь работают трое, и переменных будет тоже три. Пусть $x$ — производительность Андрея, $y$ — производительность Паши, а $z$ — производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за $1$ — ведь мы ничего не можем сказать о его размере.

	производительность	работа
Андрей	$x$	$1$
Паша	$y$	$1$
Володя	$z$	$1$
Вместе	$x+y+z$	$1$

Андрей и Паша покрасили забор за $9$ часов. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:
$\left( x+y \right) \cdot 9=1$
Аналогично,
$\left( y+z \right) \cdot 12=1$
$\left( x+z \right) \cdot 18=1$
Тогда
$x+y=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 9}$
$y+z=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}$
$x+z=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 18}$ .
Можно искать $x$ , $y$ и $z$ по отдельности, но лучше просто сложить все три уравнения. Получим, что
$2\left( x+y+z \right)=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 9}+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 18}$
Значит, работая втроем, Андрей, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Весь забор они покрасят за $8$ часов.
Ответ: $8$ .

Блог о ЕГЭ

вторник, 9 апреля 2013 г.

Математика. B13. ЕГЭ для чайников ! Часть 2.

Комментариев нет:

Отправить комментарий

ADV

Статистика

Ярлыки

вторник, 9 апреля 2013 г.

Математика. B13. ЕГЭ для чайников ! Часть 2.

Комментариев нет:

Отправить комментарий

вторник, 9 апреля 2013 г.