№ 2. При гомотетии точка X переходит в точку X'. Постройте центр гомотетии если коэффициент гомотетии равен 2.
№ 49. Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС, если угол АВС равен 30°, а диаметр окружности 10 см?
№ 64. Bычислите радиус горизонта, видимого с вершины телебашни в Останкине, высота которой 537 м.
№ 1. При гомотетии точка X переходит в точку X', а точкаY — вточку Y'. Как найти центр гомотетии, если точки X, X', Y, Y' не лежат на одной прямой?1
№ 3. Начертите треугольник. Постройте гомотетичный ему треугольник, приняв за центр гомотетии одну из его вершин и коэффициент гомотетии, равным 2.
№ 5. Что представляет собой фигура, подобная треугольнику?
№ 6. У подобных треугольников АВС и А1В1С1 ∠А = 30°, АВ = 1 м, ВС = 2 м, В1С1 = 3 м. Чему равны угол А1 и сторона А1В1?
№ 7. Докажите, что фигура, подобная окружности, есть окружность.
№ 8*. Даны угол и внутри его точка А. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку А. Построение:
№ 9*. Впишите в данный треугольник квадрат, у которого две вершины лежат на одной стороне, а две другие вершины — на двух других сторонах.
№ 10. Докажите подобие равнобедренных треугольников с равными углами при вершинах, противолежащих основаниям.
№ 11. У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны 17 см и 10 см, основание другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону.
№ 12. У треугольников АВС и А1В1С1 ∠А = ∠А1, ∠В = ∠В1 АВ = 5 м, ВС = 7 м, А1В1 = 10 м, А1С1 = 8 м. Найдите остальные стороны треугольников.
№ 14. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
№ 15. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает его сторону АС в точке А1, а сторону ВС в точке В1. Докажите, что ΔАВС ~ ΔА1В1С.
№ 16. В треугольнике с основанием a и высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а другие две — на боковых сторонах. Вычислите сторону квадрата.
№ 17. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника ABC, делит его сторону АС в отношении m:n, считая от вершины С. В каком отношении она делит сторону ВС?
№ 18. В треугольнике ABC проведен отрезок DE, параллельный стороне AC (конец D отрезка лежит на стороне AB, а Е — на стороне ВС). Найдите AD, если AB = 16 см, AC = 20 см и DE = 15 см.
№ 19. В задаче 18 найдите отношение AD:BD, если известно, что AC:DE=55:28
№ 20. Найдите длину отрезка DE в задаче 18, если:
№ 21. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Докажите подобие треугольников ВСЕ и DAE.
№ 22. Найдите отношение отрезков диагонали трапеции, на которые она разбивается другой диагональю, если основания трапеции относятся как m:n.
№ 23. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции, делит одно основание в отношении m:n. В каком отношении она делит другое основание?
№ 24. B трапеции ABCD с диагональю AC углы ABC и ACD равны. Найдите диагональ AC, если основания BC и AD соответственно равны 12 ми 27 м. Рассмотрим ΔACD и ΔCBA:
№ 25. Линия, параллельная основаниям трапеции, делит одну боковую сторону в отношении m:n. B каком отношении делит она вторую боковую сторону?
№ 26. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найдите стороны треугольника AED, если АВ = 5 см, ВС =10 см, CD = 6 см, AD = 15 см.
№ 27. Найдите высоту треугольника AED из задачи № 26, опущенную на сторону AD, если BC=7 см, AD=21 см и высота трапеции равна 3 см.
№ 28*. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е, а продолжения боковых сторон пересекаются в точке F.
№ 29*. У равнобедренного треугольника АВС с основанием АС и противолежащим углом 36° проведена биссектриса AD.
№ 30. Углы B и B1 треугольников ABC и A1B1C1 равны.
№ 32*. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD, BE, CF. Найдите углы треугольника DEF, зная углы треугольника АВС.
№ 33*. Докажите, что биссектрисы треугольника DEF в задаче № 32 лежат на высотах треугольника АВС.
№ 34. Подобны ли два равносторонних треугольника?
№ 35. Подобны ли треугольники ABC и A1B1C1, если:
№ 37. Стороны треугольника равны 0,8 м, 1,6 ми 2 м. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 5,5 м.
№ 38. Периметр одного треугольника составляет периметра подобного ему треугольника. Разность двух соответствующих сторон равна 1 м. Найдите эти стороны.
№ 39. Подобны ли два прямоугольных треугольника, если у одного из них есть угол 40°, а у другого — угол, равный: 1) 50°; 2) 60°? У подобных треугольников углы равны, к тому же сумма
№ 40. Основание высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите стороны треугольника.
№ 41. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из катетов равен 10 см. Найдите проекцию другого катета на гипотенузу.
№ 42. Докажите, что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.
№ 43. Катеты прямоугольного треугольника относятся как m:n. Как относятся проекции катетов на гипотенузу?
№ 44. Длина тени фабричной трубы равна 35,8 м; в это же время вертикально воткнутый в землю кол высотой 1,9 м дает тень длиной 1,62 м. Найдите высоту трубы.
№ 45. В треугольник АВС вписан ромб ΔDEF так, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС. Найдите сторону ромба, если АВ = с и АС = b.
№ 46*. Биссектриса внешнего угла треугольника АВС при вершине С пересекает прямую АВ в точке D. Докажите, что AD:BD = АС:ВС.
№ 47*. Докажите, что геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно (не равно единице), есть окружность.
№ 48. Найдите дополнительные плоские углы, зная, что: 1) один из них в 5 раз больше другого; 2) один из них на 100° больше другого; 3) разность их равна 20°.
№ 50. Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равен угол АВС, если хорда АС равна радиусу окружности? (Два случая.)
№ 51. Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Пусть ΔАВС вписан в окружность с центром О.
№ 52. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два равнобедренных треугольника. Опишем около ΔABC окружность.
№ 53. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. Пусть AC — гипотенуза; BD = b — высота.
№ 54. На окружности отмечены четыре точки А, В, С, D.
№ 55. Хорды окружности AD и ВС пересекаются. Угол ABC равен 50°, угол ACD равен 80°. Найдите угол CAD.
№ 56*. Докажите, что у четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°. Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность. По теореме 11.5 имеем:
№ 57. Докажите, что геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность.
№ 58. Докажите, что геометрическое место вершин углов с заданной градусной мерой, стороны которых проходят через две данные точки, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, есть дуга окружности сконцами в этих точках. Пусть AB —
№ 59. Докажите, что острый угол между хордой окружности и касательной к окружности в конце хорды равен половине угла между радиусами, проведенными к концам хорды.
№ 60. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведенной из вершины этого угла.
№ 61. Из точки С окружности проведен перпендикуляр CD к диаметру АВ. Докажите, что CD2 = AD•BD. Пусть АВ — диаметр окружности; CD ⊥ AB.
№ 62. Докажите, что произведение отрезков секущей окружности равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки: АС•ВС = CD2.
№ 63. Как далеко видно из самолета, летящего на высоте 4 км над Землей, если радиус Земли 6370 км?
№ 7. Докажите, что если концы ломаной лежат по разные стороны от данной прямой, то она пересекает эту прямую.
№ 11. Докажите, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противолежащих сторон равны.
№ 12. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен: 1) 135°? 2) 150°?
№ 1. Даны две окружности с радиусами R1 и R2 и расстояние между центрами d > R1 + R2. Чему равны наибольшее и наименьшее расстояния между точками X и Y этих окружностей.
№ 2. Решите задачу 1 при условии, что G < R1 - R2.
№ 3. Докажите, что если вершины ломаной не лежат на одной прямой, то длина ломаной больше длины отрезка, соединяющего ее концы.
№ 4. Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинами не больше половины длины ломаной.
№ 5. Докажите, что у замкнутой ломаной длина каждого звена не больше суммы длин остальных звеньев.
№ 6. Может ли замкнутая ломаная иметь звенья длиной 1 м, 2 м, 3 м, 4 м, 11 м? Объясните ответ.
№ 8. Сколько диагоналей у n-угольника?
№ 10. Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их.
№ 13. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из внешних его углов равен: 1) 36°; 2) 24°?
№ 14. Докажите, что взятые через одну вершины правильного 2я-угольника являются вершинами правильного n-угольника. Пусть АВСDEF — правильный 2n-угольник.
№ 15. Докажите, что середины сторон правильного n-угольника являются вершинами другого правильного n-угольника. Пусть АВСDЕ — правильный n-угольник, АА1 = А1В, ВВ1 = В1С и т.д.
№ 17. Хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника. Докажите.
№ 18. У правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности. Докажите.
№ 19. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность. Дано: ΔАВС — правильный, вписанный в окружность
№ 20. В окружность, радиус которой 4 дм, вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.
№ 21. Конец валика диаметром 4 см опилен под квадрат.
№ 22. Конец винта газовой задвижки имеет правильную трехгранную форму. Какой наибольший размер может иметь каждая грань, если цилиндрическая часть винта имеет диаметр 2 см? Требуется найти сторону вписанного в окружность
№ 23. Докажите, что сторона правильного 8-угольника вычисляется по формуле
№ 24. Докажите, что сторона правильного 12-угольника вычисляется по формуле
№ 25*. Найдите стороны правильного пятиугольника и правильного 10-угольника, вписанных в окружность радиуса R.
№ 26. Сторона правильного многоугольника равна а, арадиус описанной окружности 5. Найдите радиус вписанной окружности.
№ 27. Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус вписанной окружности r. Найдите радиус описанной окружности.
№ 28. Выразите сторону b правильного описанного многоугольника через радиус R окружности и сторону а правильного вписанного многоугольника с тем же числом сторон.
№ 29. Выразите сторону а правильного вписанного многоугольника через радиус R окружности и сторону b правильного описанного многоугольника с тем же числом сторон.
№ 30. Впишите в окружность правильный 12-угольник.
№ 31. 0пишите около окружности правильный треугольник, квадрат, правильный восьмиугольник.
№ 32. Радиусы вписанной и описанной окружностей одного правильного n-угольника равны r1 и R1, а радиус вписанной окружности другого правильного n-угольника равен r2;. Чему равен радиус описанной окружности другого n-угольника?
№ 33. Периметры двух правильных n-угольников относятся как а:b. Как относятся радиусы их вписанных и описанных окружностей?
№ 34. Вычислите длину окружности, если радиус равен: 1) 10 м; 2) 15 м. Длина окружности вычисляется по формуле:
№ 35. На сколько изменится длина окружности, если радиус изменится на 1 мм?
№ 36. Найдите отношение периметра правильного вписанного 8-угольника к диаметру и сравните его с приближенным значением r.
№ 37. Решите задачу № 36 для правильного 12-угольника.
№ 38. Найдите радиус земного шара исходя из того, что 1 м составляет одну 40-миллионную долю длины экватора.
№ 39. На сколько удлинился бы земной экватор, если бы радиус земного шара увеличился на 1 см?
№ 40. Внутри окружности радиуса R расположены n равных окружностей, которые касаются друг друга в данной окружности. Найдите радиус этих окружностей, если число их равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6.
№ 41. Решите предыдущую задачу, если окружности расположены вне данной окружности.
№ 42. Шкив имеет в диаметре 1,4 ми делает 80 оборотов в минуту. Найдите скорость точки на окружности шкива.
№ 43. Найдите длину дуги окружности радиуса 1 см, отвечающей центральному углу: 1) 30°; 2) 45°; 3) 120°;
№ 44. Сколько градусов содержит центральный угол, если соответствующая ему дуга составляет: 1) 1/23 2) 1/4;
№ 45. Какой угол образуют радиусы Земли, проведенные в две точки на ее поверхности, расстояние между которыми равно 1 км? Радиус Земли равен 6370 км. R = 6370 км — радиус Земли. l = 1 км — расстояние между двумя точками на поверхности Земли, а — угол
№ 46. По радиусу R = 1 м найдите длину дуги, отвечающей центральному углу: 1) 45°; 2) 30°; 3) 120°; 4) 45°45'; 5) 60°30'; 6) 150°36'.
№ 47. По данной хорде а найдите длину ее дуги, если градусная мера дуги равна: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.
№ 48. По данной длине дуги l найдите ее хорду, если дуга содержит: 1) 60°; 2) 90°; 3)120°. 1) а = 60°.
№ 50. Найдите радианную меру углов треугольника АВС, если ∠А = 60°; ∠В = 45°.
№ 51. Найдите градусную меру угла, если его радианная мера равна:
№ 7. Чему равны стороны прямоугольника, если они относятся как 4:9, а его площадь 144 м2?
№ 12. Найдите площадь ромба, если его высота 12 см, а меньшая диагональ 13 см.
№ 21. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной а.
№ 45. Найдите радиусы окружностей описанной около равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной b и вписанной в него.
№ 49. Докажите, что площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения периметра многоугольника на радиус окружности.
№ 55. Во сколько раз увеличится площадь круга, если его диаметр увеличить: 1) в 2 раза; 2) в 5 раз; 3) в m раз? Если диаметр увеличить в n раз, то радиус увеличится тоже в n раз, тогда площадь увеличится в n2 раз.
№ 1. Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.
№ 2. Стороны двух участков земли квадратной формы равны 100 ми 150 м. Найдите сторону квадратного участка, равновеликого им.
№ 3. Найдите площадь квадрата S по его диагонали а.
№ 4. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в ту же окружность?
№ 5. Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону увеличить в 3 раза?
№ 6. Во сколько раз надо уменьшить стороны квадрата, чтобы его площадь уменьшилась в 25 раз?
№ 8. Чему равны стороны прямоугольника, если его периметр 74 дм, а площадь 3 м2 ?
№ 9. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.
№ 10. Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какая из фигур имеет большую площадь? 0бъясните ответ.
№ 11. Найдите площадь ромба, если его высота 10 см, а острый угол 30°.
№ 13. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
№ 14. Найдите, стороны ромба, зная, что его диагонали относятся как 1:2, а площадь ромба равна 12 см2.
№ 15. Разделите данный треугольник на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину.
№ 16*. Решите предыдущую задачу, взяв вместо треугольника параллелограмм.
№ 17. Чему равна площадь равнобедренного треугольника, если его основание 120 м, а боковая сторона 100 м? ΔАВС — равнобедренный, АВ = ВС = 100 м, АС = 120 м.
№ 18. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой а. Рассмотрим ΔАВС, ∠С = 90°, ВС = АС, АВ = а — гипотенуза.
№ 19. У треугольника со сторонами 8 см и 4 см проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к стороне 8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к стороне 4 см?
№ 20. Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам, т.е.:
№ 22. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного вкруг радиуса 5.
№ 23. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 32 см и 18 см.
№ 24. Чему равны катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 73 см, а площадь равна 1320 см2?
№ 25. У треугольника ABС АС = а, ВС = E. При каком угле С площадь треугольника будет наибольшей?
№ 26. Найдите площадь равнобедренного треугольника, у которого боковые стороны равны 1 м, а угол между ними равен 70°.
№ 27. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны 2 ми 3 м, а один из углов равен 70°.
№ 28*. Найдите площадь треугольника по стороне a и прилежащим к ней углам а и b.
№ 29. Выведите формулу Герона для площади треугольника:
№ 30. Найдите площадь треугольника по трем сторонам:
№ 31. Стороны треугольника а, b, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.
№ 32. Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, опущенную на основание, равное: 1) 25 см; 2) 11 см.
№ 33. Периметр равнобедренного треугольника равен 64 см, а его боковая сторона на 11 см больше основания. Найдите высоту треугольника, опущенную на боковую сторону.
№ 35. Найдите высоту треугольника со сторонами
№ 36. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами: 1) 5, 5, 6; 2) 17,65, 80 и наибольшую высоту
№ 37. Найдите площадь трапеции, у которой параллельные стороны 60 см и 20 см, а непараллельные — 13 см и 37 см.
№ 38. В равнобокой трапеции основания равны 10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Найдите площадь трапеции.
№ 39. В равнобокой трапеции большее основание равно 44 м, боковая сторона 17 ми диагональ 39 м. Найдите площадь трапеции.
№ 41*. Докажите, что среди всех параллелограммов сданными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.
№ 42. Выведите следующие формулы для радиусов описанной (R) и вписанной (r) окружностей треугольника:
№ 43. Найдите радиусы описанной (5) и вписанной (г) окружностей для треугольника со сторонами: 1) 13, 14, 15; 2) 15, 13, 4; 3) 35, 29, 8; 4) 4, 5, 7. 1) а = 13, b = 14, с = 15. Полупериметр треугольника:
№ 44. Боковая сторона равнобедренного треугольника 6 см, высота, проведенная к основанию, 4 см. Найдите радиус описанной окружности. Пусть АВС — равнобедренный треугольник, АВ = ВС =
№ 46. Найдите радиус г вписанной и радиус 5 описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.
№ 47. Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.
№ 48. Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 42 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.
№ 50. Через середину высоты треугольника проведена перпендикулярная к ней прямая. В каком отношении она делит площадь треугольника? Пусть ΔАВС, ВН — высота, ВО = ОН.
№ 51. Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна А.
№ 52. Периметры правильных n-угольников относятся как а:b. Как относятся их площади?
№ 53. Найдите площадь круга, если длина окружности l.
№ 54. Найдите площадь кругового кольца, заключенного между двумя окружностями с одним и тем же центром и радиусами: 1) 4 см и 6 см; 2) 5,5 ми 6,5 м; 3) а и b, а > b.
№ 56. Найдите отношение площади круга к площади вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника. 1) Пусть ABCD — квадрат, вписанный вкруг.
№ 57. Найдите отношение площади круга, вписанного в правильный треугольник, к площади круга, описанного около него.
№ 58. Найдите отношение площади круга, описанного около квадрата, к площади круга,вписанного в него.
№ 59. Найдите площадь сектора круга радиуса R, если соответствующий этому сектору центральный угол равен: 1) 40°; 2) 90°; 3) 150°; 4) 240°; 5) 300°; 6) 330°.
№ 60. Дана окружность радиуса 5. Найдите площадь сектора, соответствующего дуге с длиной, равной: 1) R, 2) l.
№ 61*. Найдите площадь кругового сегмента с основанием a√3 и высотой — a/2.
№ 62. Найдите площадь той части круга, которая расположена вне вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника. Радиус круга 5. 1)
№ 1. Стороны треугольника 5 м, 6 м, 7 м. Найдите косинусы углов треугольника.
№ 2. У треугольника две стороны равны 5 ми 6 м, а синус угла между ними равен 0,6. Найдите третью сторону.
№ 3. Cтороны треугольника равны a, b, с. Докажите, что если a2 + b2 > с2 , то угол, противолежащий стороне с, острый. Если а2 + b2 < с2, то угол, противолежащий стороне с, тупой.
№ 4. Даны диагонали параллелограмма c и d и угол между ними а. Найдите стороны параллелограмма.
№ 5. Даны стороны параллелограмма a и b и один из углов а. Найдите диагонали параллелограмма. Пусть ABCD — параллелограмм, АВ = а, AD = b, ∠А = а.
№ 6. Стороны треугольника 4 м, 5 м и 6 м. Найдите проекции сторон 4 ми 5 м на прямую, содержащую сторону 6 м.
№ 8. Найдите высоты треугольника в задаче 1.
№ 9. Найдите медианы треугольника в задаче № 1 §12.
№ 10*. Найдите биссектрисы треугольника в задаче № 1.
№ 11*. Как изменяется сторона AB треугольника ABC, если угол C возрастает, а длины сторон AC и BC остаются без изменений?
№ 12. У треугольника АВС АВ = 15 см, АС = 10 см. Может 3
№ 14. Как найти радиус окружности, описанной около треугольника, зная его стороны? Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 м, 6 м, 7 м.
№ 15. Объясните, как найти расстояние от точки A до недоступной точки B, зная расстояние AC и углы а и b.
№ 16. Объясните, как найти высоту x здания по углам а и b и расстоянию a.
№ 18. В треугольнике АВС ∠А = 40°, ∠В = 60°, ∠С = 80°.
№ 19. У треугольника АВС стороны АВ = 5,1 м, ВС = 6,2 м, АС = 7,3 м. Какой из углов треугольника наибольший, какой — наименьший?
№ 20. Что больше — основание или боковая сторона равнобедренного треугольника, если прилежащий к основанию угол больше 60°?
№ 21. У треугольника АВС угол Ступой. Докажите, что если точка Х лежит на стороне АС, то ВХ < АВ.
№ 22. У треугольника ABC угол C тупой. Докажите, что если точка X лежит на стороне AC, а точка Y — на стороне BC, то XY < AB.
№ 23. На стороне AB треугольника ABC отмечена точка D. Докажите, что отрезок CD меньше по крайней мере одной из сторон: AC или BC.
№ 24*. Дан треугольник ABC, CD — медиана, проведенная к стороне AB. Докажите, что если AC > BC, то угол ACD меньше угла BCD.
№ 25*. Докажите, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведенных из этой же вершины.
№ 26. Даны сторона и два угла треугольника. Найдите третий угол и остальные две стороны, если:
№ 27. Даны две стороны и угол между ними. Найдите остальные два угла и третью сторону, если:
№ 28. B треугольнике заданы две стороны и угол, противолежащий одной из сторон. Найдите остальные углы к сторону треугольника, если:
№ 29. Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если:
№ 49. Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС, если угол АВС равен 30°, а диаметр окружности 10 см?
№ 64. Bычислите радиус горизонта, видимого с вершины телебашни в Останкине, высота которой 537 м.
№ 1. При гомотетии точка X переходит в точку X', а точкаY — вточку Y'. Как найти центр гомотетии, если точки X, X', Y, Y' не лежат на одной прямой?1
№ 3. Начертите треугольник. Постройте гомотетичный ему треугольник, приняв за центр гомотетии одну из его вершин и коэффициент гомотетии, равным 2.
№ 5. Что представляет собой фигура, подобная треугольнику?
№ 6. У подобных треугольников АВС и А1В1С1 ∠А = 30°, АВ = 1 м, ВС = 2 м, В1С1 = 3 м. Чему равны угол А1 и сторона А1В1?
№ 7. Докажите, что фигура, подобная окружности, есть окружность.
№ 8*. Даны угол и внутри его точка А. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку А. Построение:
№ 9*. Впишите в данный треугольник квадрат, у которого две вершины лежат на одной стороне, а две другие вершины — на двух других сторонах.
№ 10. Докажите подобие равнобедренных треугольников с равными углами при вершинах, противолежащих основаниям.
№ 11. У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны 17 см и 10 см, основание другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону.
№ 12. У треугольников АВС и А1В1С1 ∠А = ∠А1, ∠В = ∠В1 АВ = 5 м, ВС = 7 м, А1В1 = 10 м, А1С1 = 8 м. Найдите остальные стороны треугольников.
№ 14. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
№ 15. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает его сторону АС в точке А1, а сторону ВС в точке В1. Докажите, что ΔАВС ~ ΔА1В1С.
№ 16. В треугольнике с основанием a и высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а другие две — на боковых сторонах. Вычислите сторону квадрата.
№ 17. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника ABC, делит его сторону АС в отношении m:n, считая от вершины С. В каком отношении она делит сторону ВС?
№ 18. В треугольнике ABC проведен отрезок DE, параллельный стороне AC (конец D отрезка лежит на стороне AB, а Е — на стороне ВС). Найдите AD, если AB = 16 см, AC = 20 см и DE = 15 см.
№ 19. В задаче 18 найдите отношение AD:BD, если известно, что AC:DE=55:28
№ 20. Найдите длину отрезка DE в задаче 18, если:
№ 21. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Докажите подобие треугольников ВСЕ и DAE.
№ 22. Найдите отношение отрезков диагонали трапеции, на которые она разбивается другой диагональю, если основания трапеции относятся как m:n.
№ 23. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции, делит одно основание в отношении m:n. В каком отношении она делит другое основание?
№ 24. B трапеции ABCD с диагональю AC углы ABC и ACD равны. Найдите диагональ AC, если основания BC и AD соответственно равны 12 ми 27 м. Рассмотрим ΔACD и ΔCBA:
№ 25. Линия, параллельная основаниям трапеции, делит одну боковую сторону в отношении m:n. B каком отношении делит она вторую боковую сторону?
№ 26. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найдите стороны треугольника AED, если АВ = 5 см, ВС =10 см, CD = 6 см, AD = 15 см.
№ 27. Найдите высоту треугольника AED из задачи № 26, опущенную на сторону AD, если BC=7 см, AD=21 см и высота трапеции равна 3 см.
№ 28*. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е, а продолжения боковых сторон пересекаются в точке F.
№ 29*. У равнобедренного треугольника АВС с основанием АС и противолежащим углом 36° проведена биссектриса AD.
№ 30. Углы B и B1 треугольников ABC и A1B1C1 равны.
№ 32*. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD, BE, CF. Найдите углы треугольника DEF, зная углы треугольника АВС.
№ 33*. Докажите, что биссектрисы треугольника DEF в задаче № 32 лежат на высотах треугольника АВС.
№ 34. Подобны ли два равносторонних треугольника?
№ 35. Подобны ли треугольники ABC и A1B1C1, если:
№ 37. Стороны треугольника равны 0,8 м, 1,6 ми 2 м. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 5,5 м.
№ 38. Периметр одного треугольника составляет периметра подобного ему треугольника. Разность двух соответствующих сторон равна 1 м. Найдите эти стороны.
№ 39. Подобны ли два прямоугольных треугольника, если у одного из них есть угол 40°, а у другого — угол, равный: 1) 50°; 2) 60°? У подобных треугольников углы равны, к тому же сумма
№ 40. Основание высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите стороны треугольника.
№ 41. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из катетов равен 10 см. Найдите проекцию другого катета на гипотенузу.
№ 42. Докажите, что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.
№ 43. Катеты прямоугольного треугольника относятся как m:n. Как относятся проекции катетов на гипотенузу?
№ 44. Длина тени фабричной трубы равна 35,8 м; в это же время вертикально воткнутый в землю кол высотой 1,9 м дает тень длиной 1,62 м. Найдите высоту трубы.
№ 45. В треугольник АВС вписан ромб ΔDEF так, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС. Найдите сторону ромба, если АВ = с и АС = b.
№ 46*. Биссектриса внешнего угла треугольника АВС при вершине С пересекает прямую АВ в точке D. Докажите, что AD:BD = АС:ВС.
№ 47*. Докажите, что геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно (не равно единице), есть окружность.
№ 48. Найдите дополнительные плоские углы, зная, что: 1) один из них в 5 раз больше другого; 2) один из них на 100° больше другого; 3) разность их равна 20°.
№ 50. Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равен угол АВС, если хорда АС равна радиусу окружности? (Два случая.)
№ 51. Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Пусть ΔАВС вписан в окружность с центром О.
№ 52. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два равнобедренных треугольника. Опишем около ΔABC окружность.
№ 53. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. Пусть AC — гипотенуза; BD = b — высота.
№ 54. На окружности отмечены четыре точки А, В, С, D.
№ 55. Хорды окружности AD и ВС пересекаются. Угол ABC равен 50°, угол ACD равен 80°. Найдите угол CAD.
№ 56*. Докажите, что у четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°. Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность. По теореме 11.5 имеем:
№ 57. Докажите, что геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность.
№ 58. Докажите, что геометрическое место вершин углов с заданной градусной мерой, стороны которых проходят через две данные точки, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, есть дуга окружности сконцами в этих точках. Пусть AB —
№ 59. Докажите, что острый угол между хордой окружности и касательной к окружности в конце хорды равен половине угла между радиусами, проведенными к концам хорды.
№ 60. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведенной из вершины этого угла.
№ 61. Из точки С окружности проведен перпендикуляр CD к диаметру АВ. Докажите, что CD2 = AD•BD. Пусть АВ — диаметр окружности; CD ⊥ AB.
№ 62. Докажите, что произведение отрезков секущей окружности равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки: АС•ВС = CD2.
№ 63. Как далеко видно из самолета, летящего на высоте 4 км над Землей, если радиус Земли 6370 км?
№ 7. Докажите, что если концы ломаной лежат по разные стороны от данной прямой, то она пересекает эту прямую.
№ 11. Докажите, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противолежащих сторон равны.
№ 12. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен: 1) 135°? 2) 150°?
№ 1. Даны две окружности с радиусами R1 и R2 и расстояние между центрами d > R1 + R2. Чему равны наибольшее и наименьшее расстояния между точками X и Y этих окружностей.
№ 2. Решите задачу 1 при условии, что G < R1 - R2.
№ 3. Докажите, что если вершины ломаной не лежат на одной прямой, то длина ломаной больше длины отрезка, соединяющего ее концы.
№ 4. Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинами не больше половины длины ломаной.
№ 5. Докажите, что у замкнутой ломаной длина каждого звена не больше суммы длин остальных звеньев.
№ 6. Может ли замкнутая ломаная иметь звенья длиной 1 м, 2 м, 3 м, 4 м, 11 м? Объясните ответ.
№ 8. Сколько диагоналей у n-угольника?
№ 10. Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их.
№ 13. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из внешних его углов равен: 1) 36°; 2) 24°?
№ 14. Докажите, что взятые через одну вершины правильного 2я-угольника являются вершинами правильного n-угольника. Пусть АВСDEF — правильный 2n-угольник.
№ 15. Докажите, что середины сторон правильного n-угольника являются вершинами другого правильного n-угольника. Пусть АВСDЕ — правильный n-угольник, АА1 = А1В, ВВ1 = В1С и т.д.
№ 17. Хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника. Докажите.
№ 18. У правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности. Докажите.
№ 19. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность. Дано: ΔАВС — правильный, вписанный в окружность
№ 20. В окружность, радиус которой 4 дм, вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.
№ 21. Конец валика диаметром 4 см опилен под квадрат.
№ 22. Конец винта газовой задвижки имеет правильную трехгранную форму. Какой наибольший размер может иметь каждая грань, если цилиндрическая часть винта имеет диаметр 2 см? Требуется найти сторону вписанного в окружность
№ 23. Докажите, что сторона правильного 8-угольника вычисляется по формуле
№ 24. Докажите, что сторона правильного 12-угольника вычисляется по формуле
№ 25*. Найдите стороны правильного пятиугольника и правильного 10-угольника, вписанных в окружность радиуса R.
№ 26. Сторона правильного многоугольника равна а, арадиус описанной окружности 5. Найдите радиус вписанной окружности.
№ 27. Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус вписанной окружности r. Найдите радиус описанной окружности.
№ 28. Выразите сторону b правильного описанного многоугольника через радиус R окружности и сторону а правильного вписанного многоугольника с тем же числом сторон.
№ 29. Выразите сторону а правильного вписанного многоугольника через радиус R окружности и сторону b правильного описанного многоугольника с тем же числом сторон.
№ 30. Впишите в окружность правильный 12-угольник.
№ 31. 0пишите около окружности правильный треугольник, квадрат, правильный восьмиугольник.
№ 32. Радиусы вписанной и описанной окружностей одного правильного n-угольника равны r1 и R1, а радиус вписанной окружности другого правильного n-угольника равен r2;. Чему равен радиус описанной окружности другого n-угольника?
№ 33. Периметры двух правильных n-угольников относятся как а:b. Как относятся радиусы их вписанных и описанных окружностей?
№ 34. Вычислите длину окружности, если радиус равен: 1) 10 м; 2) 15 м. Длина окружности вычисляется по формуле:
№ 35. На сколько изменится длина окружности, если радиус изменится на 1 мм?
№ 36. Найдите отношение периметра правильного вписанного 8-угольника к диаметру и сравните его с приближенным значением r.
№ 37. Решите задачу № 36 для правильного 12-угольника.
№ 38. Найдите радиус земного шара исходя из того, что 1 м составляет одну 40-миллионную долю длины экватора.
№ 39. На сколько удлинился бы земной экватор, если бы радиус земного шара увеличился на 1 см?
№ 40. Внутри окружности радиуса R расположены n равных окружностей, которые касаются друг друга в данной окружности. Найдите радиус этих окружностей, если число их равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6.
№ 41. Решите предыдущую задачу, если окружности расположены вне данной окружности.
№ 42. Шкив имеет в диаметре 1,4 ми делает 80 оборотов в минуту. Найдите скорость точки на окружности шкива.
№ 43. Найдите длину дуги окружности радиуса 1 см, отвечающей центральному углу: 1) 30°; 2) 45°; 3) 120°;
№ 44. Сколько градусов содержит центральный угол, если соответствующая ему дуга составляет: 1) 1/23 2) 1/4;
№ 45. Какой угол образуют радиусы Земли, проведенные в две точки на ее поверхности, расстояние между которыми равно 1 км? Радиус Земли равен 6370 км. R = 6370 км — радиус Земли. l = 1 км — расстояние между двумя точками на поверхности Земли, а — угол
№ 46. По радиусу R = 1 м найдите длину дуги, отвечающей центральному углу: 1) 45°; 2) 30°; 3) 120°; 4) 45°45'; 5) 60°30'; 6) 150°36'.
№ 47. По данной хорде а найдите длину ее дуги, если градусная мера дуги равна: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.
№ 48. По данной длине дуги l найдите ее хорду, если дуга содержит: 1) 60°; 2) 90°; 3)120°. 1) а = 60°.
№ 50. Найдите радианную меру углов треугольника АВС, если ∠А = 60°; ∠В = 45°.
№ 51. Найдите градусную меру угла, если его радианная мера равна:
№ 7. Чему равны стороны прямоугольника, если они относятся как 4:9, а его площадь 144 м2?
№ 12. Найдите площадь ромба, если его высота 12 см, а меньшая диагональ 13 см.
№ 21. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной а.
№ 45. Найдите радиусы окружностей описанной около равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной b и вписанной в него.
№ 49. Докажите, что площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения периметра многоугольника на радиус окружности.
№ 55. Во сколько раз увеличится площадь круга, если его диаметр увеличить: 1) в 2 раза; 2) в 5 раз; 3) в m раз? Если диаметр увеличить в n раз, то радиус увеличится тоже в n раз, тогда площадь увеличится в n2 раз.
№ 1. Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.
№ 2. Стороны двух участков земли квадратной формы равны 100 ми 150 м. Найдите сторону квадратного участка, равновеликого им.
№ 3. Найдите площадь квадрата S по его диагонали а.
№ 4. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в ту же окружность?
№ 5. Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону увеличить в 3 раза?
№ 6. Во сколько раз надо уменьшить стороны квадрата, чтобы его площадь уменьшилась в 25 раз?
№ 8. Чему равны стороны прямоугольника, если его периметр 74 дм, а площадь 3 м2 ?
№ 9. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.
№ 10. Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какая из фигур имеет большую площадь? 0бъясните ответ.
№ 11. Найдите площадь ромба, если его высота 10 см, а острый угол 30°.
№ 13. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
№ 14. Найдите, стороны ромба, зная, что его диагонали относятся как 1:2, а площадь ромба равна 12 см2.
№ 15. Разделите данный треугольник на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину.
№ 16*. Решите предыдущую задачу, взяв вместо треугольника параллелограмм.
№ 17. Чему равна площадь равнобедренного треугольника, если его основание 120 м, а боковая сторона 100 м? ΔАВС — равнобедренный, АВ = ВС = 100 м, АС = 120 м.
№ 18. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой а. Рассмотрим ΔАВС, ∠С = 90°, ВС = АС, АВ = а — гипотенуза.
№ 19. У треугольника со сторонами 8 см и 4 см проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к стороне 8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к стороне 4 см?
№ 20. Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам, т.е.:
№ 22. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного вкруг радиуса 5.
№ 23. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 32 см и 18 см.
№ 24. Чему равны катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 73 см, а площадь равна 1320 см2?
№ 25. У треугольника ABС АС = а, ВС = E. При каком угле С площадь треугольника будет наибольшей?
№ 26. Найдите площадь равнобедренного треугольника, у которого боковые стороны равны 1 м, а угол между ними равен 70°.
№ 27. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны 2 ми 3 м, а один из углов равен 70°.
№ 28*. Найдите площадь треугольника по стороне a и прилежащим к ней углам а и b.
№ 29. Выведите формулу Герона для площади треугольника:
№ 30. Найдите площадь треугольника по трем сторонам:
№ 31. Стороны треугольника а, b, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.
№ 32. Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, опущенную на основание, равное: 1) 25 см; 2) 11 см.
№ 33. Периметр равнобедренного треугольника равен 64 см, а его боковая сторона на 11 см больше основания. Найдите высоту треугольника, опущенную на боковую сторону.
№ 35. Найдите высоту треугольника со сторонами
№ 36. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами: 1) 5, 5, 6; 2) 17,65, 80 и наибольшую высоту
№ 37. Найдите площадь трапеции, у которой параллельные стороны 60 см и 20 см, а непараллельные — 13 см и 37 см.
№ 38. В равнобокой трапеции основания равны 10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Найдите площадь трапеции.
№ 39. В равнобокой трапеции большее основание равно 44 м, боковая сторона 17 ми диагональ 39 м. Найдите площадь трапеции.
№ 41*. Докажите, что среди всех параллелограммов сданными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.
№ 42. Выведите следующие формулы для радиусов описанной (R) и вписанной (r) окружностей треугольника:
№ 43. Найдите радиусы описанной (5) и вписанной (г) окружностей для треугольника со сторонами: 1) 13, 14, 15; 2) 15, 13, 4; 3) 35, 29, 8; 4) 4, 5, 7. 1) а = 13, b = 14, с = 15. Полупериметр треугольника:
№ 44. Боковая сторона равнобедренного треугольника 6 см, высота, проведенная к основанию, 4 см. Найдите радиус описанной окружности. Пусть АВС — равнобедренный треугольник, АВ = ВС =
№ 46. Найдите радиус г вписанной и радиус 5 описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.
№ 47. Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.
№ 48. Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 42 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.
№ 50. Через середину высоты треугольника проведена перпендикулярная к ней прямая. В каком отношении она делит площадь треугольника? Пусть ΔАВС, ВН — высота, ВО = ОН.
№ 51. Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна А.
№ 52. Периметры правильных n-угольников относятся как а:b. Как относятся их площади?
№ 53. Найдите площадь круга, если длина окружности l.
№ 54. Найдите площадь кругового кольца, заключенного между двумя окружностями с одним и тем же центром и радиусами: 1) 4 см и 6 см; 2) 5,5 ми 6,5 м; 3) а и b, а > b.
№ 56. Найдите отношение площади круга к площади вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника. 1) Пусть ABCD — квадрат, вписанный вкруг.
№ 57. Найдите отношение площади круга, вписанного в правильный треугольник, к площади круга, описанного около него.
№ 58. Найдите отношение площади круга, описанного около квадрата, к площади круга,вписанного в него.
№ 59. Найдите площадь сектора круга радиуса R, если соответствующий этому сектору центральный угол равен: 1) 40°; 2) 90°; 3) 150°; 4) 240°; 5) 300°; 6) 330°.
№ 60. Дана окружность радиуса 5. Найдите площадь сектора, соответствующего дуге с длиной, равной: 1) R, 2) l.
№ 61*. Найдите площадь кругового сегмента с основанием a√3 и высотой — a/2.
№ 62. Найдите площадь той части круга, которая расположена вне вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника. Радиус круга 5. 1)
№ 1. Стороны треугольника 5 м, 6 м, 7 м. Найдите косинусы углов треугольника.
№ 2. У треугольника две стороны равны 5 ми 6 м, а синус угла между ними равен 0,6. Найдите третью сторону.
№ 3. Cтороны треугольника равны a, b, с. Докажите, что если a2 + b2 > с2 , то угол, противолежащий стороне с, острый. Если а2 + b2 < с2, то угол, противолежащий стороне с, тупой.
№ 4. Даны диагонали параллелограмма c и d и угол между ними а. Найдите стороны параллелограмма.
№ 5. Даны стороны параллелограмма a и b и один из углов а. Найдите диагонали параллелограмма. Пусть ABCD — параллелограмм, АВ = а, AD = b, ∠А = а.
№ 6. Стороны треугольника 4 м, 5 м и 6 м. Найдите проекции сторон 4 ми 5 м на прямую, содержащую сторону 6 м.
№ 8. Найдите высоты треугольника в задаче 1.
№ 9. Найдите медианы треугольника в задаче № 1 §12.
№ 10*. Найдите биссектрисы треугольника в задаче № 1.
№ 11*. Как изменяется сторона AB треугольника ABC, если угол C возрастает, а длины сторон AC и BC остаются без изменений?
№ 12. У треугольника АВС АВ = 15 см, АС = 10 см. Может 3
№ 14. Как найти радиус окружности, описанной около треугольника, зная его стороны? Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 м, 6 м, 7 м.
№ 15. Объясните, как найти расстояние от точки A до недоступной точки B, зная расстояние AC и углы а и b.
№ 16. Объясните, как найти высоту x здания по углам а и b и расстоянию a.
№ 18. В треугольнике АВС ∠А = 40°, ∠В = 60°, ∠С = 80°.
№ 19. У треугольника АВС стороны АВ = 5,1 м, ВС = 6,2 м, АС = 7,3 м. Какой из углов треугольника наибольший, какой — наименьший?
№ 20. Что больше — основание или боковая сторона равнобедренного треугольника, если прилежащий к основанию угол больше 60°?
№ 21. У треугольника АВС угол Ступой. Докажите, что если точка Х лежит на стороне АС, то ВХ < АВ.
№ 22. У треугольника ABC угол C тупой. Докажите, что если точка X лежит на стороне AC, а точка Y — на стороне BC, то XY < AB.
№ 23. На стороне AB треугольника ABC отмечена точка D. Докажите, что отрезок CD меньше по крайней мере одной из сторон: AC или BC.
№ 24*. Дан треугольник ABC, CD — медиана, проведенная к стороне AB. Докажите, что если AC > BC, то угол ACD меньше угла BCD.
№ 25*. Докажите, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведенных из этой же вершины.
№ 26. Даны сторона и два угла треугольника. Найдите третий угол и остальные две стороны, если:
№ 27. Даны две стороны и угол между ними. Найдите остальные два угла и третью сторону, если:
№ 28. B треугольнике заданы две стороны и угол, противолежащий одной из сторон. Найдите остальные углы к сторону треугольника, если:
№ 29. Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если:
